Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma da série é igual a usando o Princípio de Indução Matemática. Esse princípio é uma ferramenta poderosa da matemática que nos ajuda a confirmar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural, começando de um caso base e mostrando que se vale para um, também vale para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando . Substituindo na soma, temos:
Agora, na expressão , substituindo :
Como os dois lados são iguais, o caso base está confirmado!

Passo 3

Agora, vamos para o passo da indução. Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum , ou seja:
Esse é o nosso hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Vamos calcular a soma para :
Usando a hipótese de indução:

Passo 5

Agora, vamos verificar se isso é igual a :
Distribuindo:
Viram só? Os dois lados ficaram iguais!

Resposta

Portanto, pelo Princípio de Indução Matemática, a afirmação é verdadeira para todo número natural .

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