Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma da série
é igual a
usando o Princípio de Indução Matemática. Esse princípio é uma ferramenta poderosa da matemática que nos ajuda a confirmar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural, começando de um caso base e mostrando que se vale para um, também vale para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando
. Substituindo na soma, temos:
Agora, na expressão
, substituindo
:
Como os dois lados são iguais, o caso base está confirmado!
Passo 3
Agora, vamos para o passo da indução. Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum
, ou seja:
Esse é o nosso hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Vamos calcular a soma para
:
Usando a hipótese de indução:
Passo 5
Agora, vamos verificar se isso é igual a
:
Distribuindo:
Viram só? Os dois lados ficaram iguais!
Resposta
Portanto, pelo Princípio de Indução Matemática, a afirmação
é verdadeira para todo número natural
.
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