Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(g) sumk=1^n(4 k+1)=n(2 n+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a soma da série sumk=1^n(4k + 1) é igual a n(2n + 3) usando o Princípio de Indução Matemática. Esse princípio é uma ferramenta poderosa da matemática que nos ajuda a confirmar que uma afirmação é verdadeira para todo número natural, começando de um caso base e mostrando que se vale para um, também vale para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, ou seja, quando n = 1. Substituindo na soma, temos:
sumk=1^1(4k + 1) = 4(1) + 1 = 5
Agora, na expressão n(2n + 3), substituindo n = 1:
1(2 times 1 + 3) = 1(2 + 3) = 5
Como os dois lados são iguais, o caso base está confirmado!

Passo 3

Agora, vamos para o passo da indução. Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum n = m, ou seja:
sumk=1^m(4k + 1) = m(2m + 3)
Esse é o nosso hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para n = m, então ela também é verdadeira para n = m + 1. Vamos calcular a soma para n = m + 1:
sumk=1^m+1(4k + 1) = (sumk=1^m(4k + 1)) + (4(m + 1) + 1)
Usando a hipótese de indução:
= m(2m + 3) + 4m + 4 + 1
= 2m^2 + 3m + 4m + 5
= 2m^2 + 7m + 5

Passo 5

Agora, vamos verificar se isso é igual a (m + 1)(2(m + 1) + 3):
(m + 1)(2(m + 1) + 3) = (m + 1)(2m + 2 + 3) = (m + 1)(2m + 5)
Distribuindo:
= m(2m + 5) + 1(2m + 5) = 2m^2 + 5m + 2m + 5 = 2m^2 + 7m + 5
Viram só? Os dois lados ficaram iguais!

Resposta

Portanto, pelo Princípio de Indução Matemática, a afirmação sumk=1^n(4k + 1) = n(2n + 3) é verdadeira para todo número natural n.

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