Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A questão é:
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência da série
Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o que estamos lidando. Observamos que no denominador temos
. Podemos fatorar o
:
Isso nos ajuda a ver que o termo geral é proporcional a
, mas com um fator que depende de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
. Sabemos que
oscila entre 0 e 1 para qualquer valor de
. Assim, o denominador
varia entre 1 e 4. Portanto, temos:
Isso implica que:
Passo 4
Agora, podemos comparar nossa série com a série harmônica
, que sabemos que é divergente. Pelo Teste da Comparação, se
e
diverge, então
também diverge.
No nosso caso,
. Já que
é uma múltipla da série harmônica e também diverge, concluímos que nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.