Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
e) sumn=1^infty 2n+3 n cos ^2 n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você me enviou. A questão é:
Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência da série
sumn=1^infty 2n + 3n cos^2 n
Vamos precisar usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o que estamos lidando. Observamos que no denominador temos 2n + 3n cos^2 n = 2n(1 + 3 cos^2 n) = 2n cdot 11 + 3 cos^2 n . Podemos fatorar o :
Isso nos ajuda a ver que o termo geral é proporcional a , mas com um fator que depende de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de 14 <= 11 + 3 cos^2 n <= 1 . Sabemos que 24n = 12n <= 2n + 3n cos^2 n <= 2n oscila entre 0 e 1 para qualquer valor de . Assim, o denominador varia entre 1 e 4. Portanto, temos:
Isso implica que:

Passo 4

Agora, podemos comparar nossa série com a série harmônica , que sabemos que é divergente. Pelo Teste da Comparação, se e diverge, então também diverge.
No nosso caso, . Já que é uma múltipla da série harmônica e também diverge, concluímos que nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados