Determine o raio de convergência (rho) da série: sumk=3^infty k z^k;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o raio de convergência da série . Isso está dentro do tópico de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o teste do razão, que é uma técnica para descobrir até onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até que valor de a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o teste do razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 3

Vamos aplicar o teste do razão na série L = limk to infty | ak+1ak | . Aqui, nosso termo geral é . O teste do razão nos diz para calcular:

Passo 4

Calculando a razão dos termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1) z^k+1k z^k = k+1k cdot z = (1 + 1k) z

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty | (1 + 1k) z | = |z| cdot limk to infty (1 + 1k) = |z| tende ao infinito:

Passo 6

De acordo com o teste do razão, a série converge se |z| < 1 , ou seja:
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Resposta

O raio de convergência da série é igual a 1.

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© lim z infty 3 z^5-z^4+2 i4 z^5+i z^2