Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar o raio de convergência da série . Isso está dentro do tópico de séries de potências e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o teste do razão, que é uma técnica para descobrir até onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica até que valor de a série converge. Para encontrar esse raio, usamos o teste do razão, que envolve calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.
Passo 3
Vamos aplicar o teste do razão na série . Aqui, nosso termo geral é . O teste do razão nos diz para calcular:
Passo 4
Calculando a razão dos termos consecutivos:
ak+1ak = (k+1) z^k+1k z^k = k+1k cdot z = (1 + 1k) z
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando L = limk to infty | (1 + 1k) z | = |z| cdot limk to infty (1 + 1k) = |z| tende ao infinito:
Passo 6
De acordo com o teste do razão, a série converge se |z| < 1 , ou seja: