Seja gamma=partial D(0,1). Deduzir o valor da integral integral0^2 pi cos ^2 n t d t e integral0^2 pi sen^2 n t d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular duas integrais:
integral0^2 pi cos^2n t , dt e integral0^2 pi sin^2n t , dt
Esse exercício está ligado ao estudo de integrais trigonométricas e identidades trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar usar a fórmula de redução de potências para funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar potências pares de seno e cosseno. A identidade é:
cos^2n t = 12^2n binom2nn + 12^2n-1 sumk=1^n binom2nn-k cos(2kt)
Mas pra facilitar, vamos usar uma fórmula mais direta para integrar potências pares:
integral0^2pi cos^2n t , dt = integral0^2pi sin^2n t , dt = 2pi (2n)!)4^n (n!)^2

Passo 3

Vamos entender por que essa fórmula funciona. Quando a gente integra funções como ou ao longo de um período completo de a , a simetria da função faz com que a integral dependa apenas dos coeficientes binomiais e de potências de 2.

Passo 4

Aplicando a fórmula que vimos, a gente substitui integral0^2pi cos^2n t , dt = 2pi (2n)!4^n (n!)^2 diretamente:
Para integral0^2pi sin^2n t , dt = 2pi (2n)!4^n (n!)^2 :
E como as integrais de e são iguais devido à simetria, também temos:

Resposta

As integrais são iguais e valem:
integral0^2pi cos^2n t , dt = integral0^2pi sin^2n t , dt = 2pi (2n)!4^n (n!)^2

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Use o item anterior para calcular integral1^2 x^-2 d x usando a definição de integral tomando P uma partição equiespaçada de [1,2] e P^* a partição pontilhada formada pelos pontos que são médias geométricas dos extremos dos subintervalos de P. Interprete geometricamente.
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
© u(x, y) = 2 x (1 - y^2)
Determine o raio de convergência (rho) da série: sumk=0^infty k e^-k z^k.
Seja f(z) = e^z / sen(z), com z in D={x+i y:|x|<1,|y|<1}. Calcule a parte principal de f(z). y = sen(x^2) Resposta:1/z. 83