Seja
. Deduzir o valor da integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular duas integrais:
Esse exercício está ligado ao estudo de integrais trigonométricas e identidades trigonométricas. Para resolver, a gente vai precisar usar a fórmula de redução de potências para funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma identidade trigonométrica que ajuda a simplificar potências pares de seno e cosseno. A identidade é:
Mas pra facilitar, vamos usar uma fórmula mais direta para integrar potências pares:
Passo 3
Vamos entender por que essa fórmula funciona. Quando a gente integra funções como
ou
ao longo de um período completo de
a
, a simetria da função faz com que a integral dependa apenas dos coeficientes binomiais e de potências de 2.
Passo 4
Aplicando a fórmula que vimos, a gente substitui
diretamente:
Para
:
E como as integrais de
e
são iguais devido à simetria, também temos:
Resposta
As integrais são iguais e valem:
Exercícios relacionados
Use o item anterior para calcular
usando a definição de integral tomando
uma partição equiespaçada de
e
a partição pontilhada formada pelos pontos que são médias geométricas dos extremos dos subintervalos de
. Interprete geometricamente.
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
©
©
Determine o raio de convergência
da série:
.
Seja
, com
. Calcule a parte principal de
.
Resposta:1/z.