Use o item anterior para calcular integral1^2 x^-2 d x usando a definição de integral tomando P uma partição equiespaçada de [1,2] e P^* a partição pontilhada formada pelos pontos que são médias geométricas dos extremos dos subintervalos de P. Interprete geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de de 1 a 2 usando a definição de integral. Para isso, vamos dividir o intervalo em partes iguais, chamar essas partições de , e depois usar pontos especiais chamados médias geométricas para montar a partição . Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e somas de Riemann para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo De em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, que chamamos de , será:
Então, cada subintervalo vai de até , onde varia de 1 até .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos que formam a partição xi^* = raiz(1 + i-1n) cdot (1 + in) . Esses pontos são as médias geométricas dos extremos de cada subintervalo. A média geométrica de dois números e é dada por .
Para o -ésimo subintervalo, os extremos são e . Então, o ponto que vamos usar é:

Passo 4

A definição de integral que vamos usar é a soma de Riemann, que aproxima a área sob a curva. Então, nossa soma será:
sumi=1^n f(xi^*) cdot De
Aqui, sumi=1^n ( xi^* )^-2 cdot 1n , então temos:
sumi=1^n 1(raiz(1 + i-1n) cdot (1 + in))^2 cdot 1n = sumi=1^n 1(1 + i-1n) cdot (1 + in) cdot 1n
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
1(1 + i-1n) cdot (1 + in) = n^2(n + i - 1)(n + i)
Então, nossa soma fica:
sumi=1^n n^2(n + i - 1)(n + i) cdot 1n = sumi=1^n n(n + i - 1)(n + i)

Passo 6

Agora, vamos usar frações parciais para simplificar cada termo da soma:
n(n + i - 1)(n + i) = n ( 1n + i - 1 - 1n + i )
Substituindo isso na soma:
sumi=1^n n ( 1n + i - 1 - 1n + i ) = n ( sumi=1^n 1n + i - 1 - sumi=1^n 1n + i )

Passo 7

Observando as somas, a primeira soma vai de n ( sumk=n^2n-1 1k - sumk=n+1^2n 1k ) até n ( 1n - 12n ) = n ( 1n - 12n ) = 1 - 12 = 12 e a segunda vai de até . Assim, temos:
Ao subtrair essas somas, praticamente tudo cancela, restando apenas:

Resposta

Portanto, o valor da integral é igual a .

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