Use o item anterior para calcular
usando a definição de integral tomando
uma partição equiespaçada de
e
a partição pontilhada formada pelos pontos que são médias geométricas dos extremos dos subintervalos de
. Interprete geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de
de 1 a 2 usando a definição de integral. Para isso, vamos dividir o intervalo
em partes iguais, chamar essas partições de
, e depois usar pontos especiais chamados médias geométricas para montar a partição
. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e somas de Riemann para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, que chamamos de
, será:
Então, cada subintervalo vai de
até
, onde
varia de 1 até
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos que formam a partição
. Esses pontos são as médias geométricas dos extremos de cada subintervalo. A média geométrica de dois números
e
é dada por
.
Para o
-ésimo subintervalo, os extremos são
e
. Então, o ponto
que vamos usar é:
Passo 4
A definição de integral que vamos usar é a soma de Riemann, que aproxima a área sob a curva. Então, nossa soma será:
Aqui,
, então temos:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Então, nossa soma fica:
Passo 6
Agora, vamos usar frações parciais para simplificar cada termo da soma:
Substituindo isso na soma:
Passo 7
Observando as somas, a primeira soma vai de
até
e a segunda vai de
até
. Assim, temos:
Ao subtrair essas somas, praticamente tudo cancela, restando apenas:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
©
©
Verifique qual das seguintes funções é harmônica e caso afirmativo, encontre o conjugado harmônico.
(a)
(a)
Seja
. Deduzir o valor da integral
.
Determine o raio de convergência
da série:
.