Determine o raio de convergência da série de potências sumk=1^infty (-1)^k4^k k^2(x-1)^2 k+1 e o maior intervalo aberto em que essa série converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o raio de convergência da série de potências
sumk=1^infty (-1)^k4^k k^2(x-1)^2k+1
e também o maior intervalo aberto onde essa série converge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências e métodos de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do teste. Observe que:
(x - 1)^2k + 1 = (x - 1) cdot (x - 1)^2k
Então, podemos reescrever a série como:
sumk=1^infty (-1)^k4^k k^2(x-1) cdot (x - 1)^2k = (x - 1) sumk=1^infty (-1)^k4^k k^2(x - 1)^2k

Passo 3

Agora, vamos identificar a série de potências padrão. Podemos observar que ela tem a forma geral:
sumk=1^infty ak (x - c)^k
onde (x - 1) sumk=1^infty (-1)^k4^k k^2 u^k e corresponde aos coeficientes da série. Porém, devido à presença de , é mais conveniente reescrever a série em termos de .
Assim, a série fica:

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o teste da razão à série interna:
sumk=1^infty (-1)^k4^k k^2 u^k
O teste da razão nos diz que:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculando ak = (-1)^k4^k k^2 :
ak+1ak = (-1)^k+14^k+1 (k+1)^2 cdot 4^k k^2(-1)^k = -14 cdot k^2(k+1)^2
Então,
| ak+1ak | = 14 cdot k^2(k+1)^2
Tomando o valor absoluto:

Passo 6

Agora, calculamos o limite:
L = limk to infty 14 cdot k^2(k+1)^2 = 14 cdot limk to infty k^2k^2 + 2k + 1 = 14 cdot 1 = 14
Como , a série converge para todos os valores de .

Passo 7

Lembrando que , e a série converge para todo . Isso significa que não há restrição sobre , ou seja, para todo , a série converge.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e o maior intervalo aberto onde a série converge é .

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