Determine o raio de convergência da série de potências e o maior intervalo aberto em que essa série converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o raio de convergência da série de potências
e também o maior intervalo aberto onde essa série converge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências e métodos de convergência, como o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do teste. Observe que:
Então, podemos reescrever a série como:

Passo 3

Agora, vamos identificar a série de potências padrão. Podemos observar que ela tem a forma geral:
onde e corresponde aos coeficientes da série. Porém, devido à presença de , é mais conveniente reescrever a série em termos de .
Assim, a série fica:

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o teste da razão à série interna:
O teste da razão nos diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Calculando :
Então,
Tomando o valor absoluto:

Passo 6

Agora, calculamos o limite:
Como , a série converge para todos os valores de .

Passo 7

Lembrando que , e a série converge para todo . Isso significa que não há restrição sobre , ou seja, para todo , a série converge.

Resposta

O raio de convergência da série é infinito, e o maior intervalo aberto onde a série converge é .

Exercícios relacionados

Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)
Observe que e lembre que , para .
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.