Determine o raio de convergência da série de potências e o maior intervalo aberto em que essa série converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o raio de convergência da série de potências
e também o maior intervalo aberto onde essa série converge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries de potências e métodos de convergência, como o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a aplicação do teste. Observe que:
Então, podemos reescrever a série como:
Passo 3
Agora, vamos identificar a série de potências padrão. Podemos observar que ela tem a forma geral:
onde e corresponde aos coeficientes da série. Porém, devido à presença de , é mais conveniente reescrever a série em termos de .
Assim, a série fica:
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o teste da razão à série interna:
O teste da razão nos diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Calculando :
Então,
Tomando o valor absoluto:
Passo 6
Agora, calculamos o limite:
Como , a série converge para todos os valores de .
Passo 7
Lembrando que , e a série converge para todo . Isso significa que não há restrição sobre , ou seja, para todo , a série converge.
Resposta
O raio de convergência da série é infinito, e o maior intervalo aberto onde a série converge é .