Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcular a soma da série . Isso está relacionado com séries infinitas e o uso do logaritmo natural. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da expansão em série de Taylor para e aplicar isso ao nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que foi dada:
Essa é a expansão em série do logaritmo natural , válida para entre -1 e 1.

Passo 3

Observe que a série que precisamos somar é:
Podemos reescrever essa série de forma que se pareça com a fórmula da série do . Note que , então podemos pensar em .

Passo 4

Vamos substituir por na fórmula da série do :
Isso fica:

Resposta

Portanto, a soma da série é .

Exercícios relacionados

Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)
Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
© O raio de convergência da série é
Determine o raio de convergência da série de potências e o maior intervalo aberto em que essa série converge.
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)