Lembre que ln (1+x)=sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2) sumk=1^infty (-1)^k+1k 3^k

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para calcular a soma da série sumk=1^infty (-1)^k+1k 3^k. Isso está relacionado com séries infinitas e o uso do logaritmo natural. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula da expansão em série de Taylor para ln(1+x) e aplicar isso ao nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula que foi dada:
ln(1+x) = sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1 < x <= 1
Essa é a expansão em série do logaritmo natural ln(1+x), válida para x entre -1 e 1.

Passo 3

Observe que a série que precisamos somar é:
sumk=1^infty (-1)^k+1k 3^k
Podemos reescrever essa série de forma que se pareça com a fórmula da série do ln(1+x). Note que 3^k = (3)^k, então podemos pensar em x = 13.

Passo 4

Vamos substituir x por 13 na fórmula da série do ln(1+x):
ln(1 + 13) = sumk=1^infty (-1)^k+1k (13)^k
Isso fica:
ln(43) = sumk=1^infty (-1)^k+1k 3^k

Resposta

Portanto, a soma da série é ln(43).

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