Lembre que sen x=sumk=0^infty (-1)^k(2 k+1)! x^2 k+1, qualquer que seja x.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4) sumk=0^infty (-1)^k pi^2 k+53^4(2 k+1)!

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita:
sumk=0^infty (-1)^k pi^2k+53^4(2k+1)!
Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função seno, que nos ajuda a expressar funções trigonométricas como somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série que queremos somar:
sumk=0^infty (-1)^k pi^2k+53^4(2k+1)! = pi^53^4 sumk=0^infty (-1)^k pi^2k(2k+1)!
Aqui, separei pi^5 e 3^4 fora da soma para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para o seno:
Observamos que a nossa série se parece muito com esta, mas com sen x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 e o expoente de x = pi na série original é pi em vez de 2k.

Passo 4

Para ajustar isso, vamos fatorar um pi da nossa série:
Isso porque se substituirmos sumk=0^infty (-1)^k pi^2k(2k+1)! = sen pipi na série do seno, temos:
Então, isolando a soma:

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão original:
Sabemos que , pois o seno de pi^53^4 sumk=0^infty (-1)^k pi^2k(2k+1)! = pi^53^4 cdot sen pipi = pi^43^4 sen pi é zero.

Resposta

Portanto, o valor da soma da série é 0.

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