Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita:
Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função seno, que nos ajuda a expressar funções trigonométricas como somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série que queremos somar:
Aqui, separei e fora da soma para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para o seno:
Observamos que a nossa série se parece muito com esta, mas com e o expoente de na série original é em vez de .

Passo 4

Para ajustar isso, vamos fatorar um da nossa série:
Isso porque se substituirmos na série do seno, temos:
Então, isolando a soma:

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão original:
Sabemos que , pois o seno de é zero.

Resposta

Portanto, o valor da soma da série é .

Exercícios relacionados

Determine o raio de convergência da série de potências e o maior intervalo aberto em que essa série converge.
Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
Observe que e lembre que , para .
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)