Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita:
Para resolver isso, vamos usar a série de Taylor da função seno, que nos ajuda a expressar funções trigonométricas como somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série que queremos somar:
Aqui, separei
e
fora da soma para simplificar.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para o seno:
Observamos que a nossa série se parece muito com esta, mas com
e o expoente de
na série original é
em vez de
.
Passo 4
Para ajustar isso, vamos fatorar um
da nossa série:
Isso porque se substituirmos
na série do seno, temos:
Então, isolando a soma:
Passo 5
Substituindo de volta na nossa expressão original:
Sabemos que , pois o seno de
é zero.
Resposta
Portanto, o valor da soma da série é
.
Exercícios relacionados
Determine o raio de convergência da série de potências
e o maior intervalo aberto em que essa série converge.
Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
Observe que
e lembre que
, para
.
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função
Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)