Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma série e pede para encontrar o valor da soma dela. A série que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre a série de expansão do seno, que está relacionada com a expressão dada. Vamos precisar entender a fórmula da série de Taylor para o seno e como podemos manipular a nossa série para se encaixar nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor para a função seno:
Essa é uma maneira de representar o seno de x como uma soma infinita. Agora, vamos comparar essa expressão com a série que temos no exercício:
Observamos que a diferença principal está nos termos envolvendo e . Vamos tentar manipular a nossa série para que ela se pareça mais com a série do seno.

Passo 3

Vamos tentar ajustar os termos da nossa série para que ela se alinhe com a série do seno. Para isso, vamos reescrever a nossa série da seguinte forma:
Note que . Agora, percebemos que temos algo similar à série do seno, mas com substituído por . Vamos explorar como podemos relacionar isso com a função seno.

Passo 4

Vamos tentar expressar nossa série em termos de . Sabemos que:
Se fizermos , então:
Comparando com a nossa série:
Percebemos que nossa série difere da série do seno por faltar o termo a cada potência ímpar. Vamos ajustar isso para encontrar a relação correta.

Passo 5

Vamos multiplicar e dividir nossa série por :
Agora, reconhecemos que a soma dentro da expressão é exatamente a série de Taylor para :
Portanto, podemos escrever:

Resposta

Sabemos que . Portanto:
Resposta Final: O valor da soma da série é .

Exercícios relacionados

Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
© O raio de convergência da série é
Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(b) Marque com um as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se , a série ( ) C ( ) D ( ) I
Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
Determine o raio de convergência da série de potências e o maior intervalo aberto em que essa série converge.