Lembre que sen x=sumk=0^infty (-1)^k(2 k+1)! x^2 k+1, qualquer que seja x.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2) sumk=0^infty (-1)^k pi^2 k4^k(2 k+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma série e pede para encontrar o valor da soma dela. A série que vamos resolver é:
sumk=0^infty (-1)^k pi^2k4^k(2k+1)!
Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre a série de expansão do seno, que está relacionada com a expressão dada. Vamos precisar entender a fórmula da série de Taylor para o seno e como podemos manipular a nossa série para se encaixar nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor para a função seno:
Essa é uma maneira de representar o seno de x como uma soma infinita. Agora, vamos comparar essa expressão com a série que temos no exercício:
sen x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1
Observamos que a diferença principal está nos termos envolvendo sumk=0^infty (-1)^k pi^2k4^k(2k+1)! e . Vamos tentar manipular a nossa série para que ela se pareça mais com a série do seno.

Passo 3

Vamos tentar ajustar os termos da nossa série para que ela se alinhe com a série do seno. Para isso, vamos reescrever a nossa série da seguinte forma:
sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi^24 )^k
Note que . Agora, percebemos que temos algo similar à série do seno, mas com substituído por . Vamos explorar como podemos relacionar isso com a função seno.

Passo 4

Vamos tentar expressar nossa série em termos de . Sabemos que:
Se fizermos sen x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 , então:
Comparando com a nossa série:
sen ( pi2 ) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi2 )^2k+1
Percebemos que nossa série difere da série do seno por faltar o termo sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi^24 )^k = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi2 )^2k a cada potência ímpar. Vamos ajustar isso para encontrar a relação correta.

Passo 5

Vamos multiplicar e dividir nossa série por sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi^24 )^k = 2pi sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi2 )^2k+1 :
sen ( pi2 ) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi2 )^2k+1
Agora, reconhecemos que a soma dentro da expressão é exatamente a série de Taylor para :
Portanto, podemos escrever:

Resposta

Sabemos que . Portanto:
sumk=0^infty (-1)^k pi^2k4^k(2k+1)! = 2pi times 1 = 2pi
Resposta Final: O valor da soma da série é .

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