Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma série e pede para encontrar o valor da soma dela. A série que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos usar o que sabemos sobre a série de expansão do seno, que está relacionada com a expressão dada. Vamos precisar entender a fórmula da série de Taylor para o seno e como podemos manipular a nossa série para se encaixar nessa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Taylor para a função seno:
Essa é uma maneira de representar o seno de x como uma soma infinita. Agora, vamos comparar essa expressão com a série que temos no exercício:
Observamos que a diferença principal está nos termos envolvendo
e
. Vamos tentar manipular a nossa série para que ela se pareça mais com a série do seno.
Passo 3
Vamos tentar ajustar os termos da nossa série para que ela se alinhe com a série do seno. Para isso, vamos reescrever a nossa série da seguinte forma:
Note que
. Agora, percebemos que temos algo similar à série do seno, mas com
substituído por
. Vamos explorar como podemos relacionar isso com a função seno.
Passo 4
Vamos tentar expressar nossa série em termos de . Sabemos que:
Se fizermos
, então:
Comparando com a nossa série:
Percebemos que nossa série difere da série do seno por faltar o termo
a cada potência ímpar. Vamos ajustar isso para encontrar a relação correta.
Passo 5
Vamos multiplicar e dividir nossa série por
:
Agora, reconhecemos que a soma dentro da expressão é exatamente a série de Taylor para :
Portanto, podemos escrever:
Resposta
Sabemos que . Portanto:
Resposta Final: O valor da soma da série é
.
Exercícios relacionados
Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
© O raio de convergência da série é
© O raio de convergência da série
Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
(b) Marque com um as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se
, a série
( ) C ( ) D ( ) I
(b) Marque com um
Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
Determine o raio de convergência da série de potências
e o maior intervalo aberto em que essa série converge.