Observe que 1(1+x)^2=dd x(-11+x) e lembre que 11-x=sumk=0^infty x^k, para -1.
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função f(x)=1(1+x)^2 e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Maclaurin para a função e descobrir para quais valores de essa série funciona, ou seja, qual é o intervalo de convergência. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e derivadas.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Maclaurin é uma expansão em série ao redor de . A gente já sabe que para . Essa é uma série geométrica básica.

Passo 3

Agora, observa que 1(1+x)^2 = ddx(-11+x) é a derivada de em relação a , ou seja:
Vamos usar isso para relacionar com a série que já conhecemos.

Passo 4

Calcula a derivada da série 11+x = sumk=0^infty (-1)^k x^k . Primeiro, substituímos por para ficar em termos de :

Passo 5

Agora, derivamos ambos os lados em relação a ddx(11+x) = ddx( sumk=0^infty (-1)^k x^k ) :
-1(1+x)^2 = sumk=0^infty (-1)^k k x^k-1

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por 1(1+x)^2 = sumk=0^infty (-1)^k+1 k x^k-1 para isolar 1(1+x)^2 = sumk=1^infty (-1)^k k x^k-1 :
Mas podemos reindexar a série para facilitar, deixando-a com potências de começando em :

Passo 7

Para deixar a série mais elegante, fazemos uma mudança de variável: deixa 1(1+x)^2 = sumn=0^infty (-1)^n+1 (n+1) x^n , então quando 1(1+x)^2 = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) x^n , . Substituindo:
Ou simplificando os sinais:

Passo 8

Então, a série de Maclaurin para f(x) = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) x^n é:

Passo 9

Quanto ao intervalo de convergência, a série original converge para . Como fizemos substituições e derivações que mantêm a mesma faixa de convergência, o intervalo para nossa série é também .

Resposta

A série de Maclaurin da função f(x) = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) x^n é
e o intervalo de convergência é .

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