Observe que e lembre que , para .
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Maclaurin para a função e descobrir para quais valores de essa série funciona, ou seja, qual é o intervalo de convergência. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e derivadas.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Maclaurin é uma expansão em série ao redor de . A gente já sabe que para . Essa é uma série geométrica básica.

Passo 3

Agora, observa que é a derivada de em relação a , ou seja:
Vamos usar isso para relacionar com a série que já conhecemos.

Passo 4

Calcula a derivada da série . Primeiro, substituímos por para ficar em termos de :

Passo 5

Agora, derivamos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Mas podemos reindexar a série para facilitar, deixando-a com potências de começando em :

Passo 7

Para deixar a série mais elegante, fazemos uma mudança de variável: deixa , então quando , . Substituindo:
Ou simplificando os sinais:

Passo 8

Então, a série de Maclaurin para é:

Passo 9

Quanto ao intervalo de convergência, a série original converge para . Como fizemos substituições e derivações que mantêm a mesma faixa de convergência, o intervalo para nossa série é também .

Resposta

A série de Maclaurin da função é
e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)
Determine o raio de convergência da série de potências e o maior intervalo aberto em que essa série converge.
Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
Lembre que , para .
(b) Seja . Obtenha:
5) a derivada .