Observe que
e lembre que
, para
.
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função
e o seu intervalo de convergência.
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Maclaurin para a função
e descobrir para quais valores de
essa série funciona, ou seja, qual é o intervalo de convergência. Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e derivadas.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Maclaurin é uma expansão em série ao redor de
. A gente já sabe que
para
. Essa é uma série geométrica básica.
Passo 3
Agora, observa que
é a derivada de
em relação a
, ou seja:
Vamos usar isso para relacionar com a série que já conhecemos.
Passo 4
Calcula a derivada da série
. Primeiro, substituímos
por
para ficar em termos de
:
Passo 5
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Mas podemos reindexar a série para facilitar, deixando-a com potências de
começando em
:
Passo 7
Para deixar a série mais elegante, fazemos uma mudança de variável: deixa
, então quando
,
. Substituindo:
Ou simplificando os sinais:
Passo 8
Então, a série de Maclaurin para
é:
Passo 9
Quanto ao intervalo de convergência, a série original
converge para
. Como fizemos substituições e derivações que mantêm a mesma faixa de convergência, o intervalo para nossa série é também
.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)
Determine o raio de convergência da série de potências
e o maior intervalo aberto em que essa série converge.
Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
Lembre que
, para
.
(b) Seja . Obtenha:
5) a derivada .
(b) Seja
5) a derivada