Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
sumn=1^infty x^2 n-12 n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que determinar o raio de convergência e todos os valores de sumn=1^infty x^2n-12n-1 para os quais a série de potência
converge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potência, especificamente o raio de convergência, que nos ajuda a saber para quais valores de a série realmente soma a um valor finito.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica o intervalo ao redor do ponto central (neste caso, ) onde a série de potência converge. Para encontrá-lo, podemos usar o Critério da Razão ou o Critério da Raiz. Aqui, vamos optar pelo Critério da Razão, que é muito útil para séries que têm termos com potências de .

Passo 3

O Critério da Razão nos diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
an+1 = x^2(n+1)-12(n+1)-1 = x^2n+12n+1
Se | an+1an | = | x^2n+12n+1 cdot 2n-1x^2n-1 | = | x^2 cdot 2n-12n+1 | , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular e formar a razão:
Agora, montamos a razão:

Passo 4

Vamos simplificar o limite:
L = limn to infty | x^2 cdot 2n-12n+1 | = |x^2| cdot limn to infty 2n-12n+1 = |x^2| cdot 1 = x^2
Segundo o Critério da Razão, para a série convergir, precisamos que x^2 < 1 implies |x| < 1 :
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 5

Agora, sabemos que a série converge para sumn=1^infty 1^2n-12n-1 = sumn=1^infty 12n-1 . Mas precisamos verificar o que acontece nos pontos extremos sumn=1^infty (-1)^2n-12n-1 = sumn=1^infty -12n-1 = -sumn=1^infty 12n-1 e .
  • Para :
Essa é a série harmônica das odds, que diverge.
  • Para :
Novamente, a série diverge.

Resposta

O raio de convergência é , e a série de potência converge para todos os valores de tais que .

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