Determine o raio de convergência e todos os valores de para os quais as seguintes séries de potência convergem.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potência na forma e precisamos determinar o raio de convergência dessa série, além de encontrar todos os valores de para os quais essa série converge. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries de potência e o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, identificamos a forma geral da série de potência: , onde é o centro da série e são os coeficientes. No nosso caso, podemos reescrever a série como . Isso nos mostra que o centro da série é o valor de que anula o termo , ou seja, .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série , o limite . Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Para que a série converja, devemos ter L < 1, ou seja:
|4x +1| < 1
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
|4x +1| < 1 implies -1 < 4x +1 < 1
Subtraindo 1 de todos os lados:
-2 < 4x < 0
Dividindo por 4:
-0.5 < x < 0
Passo 7
O intervalo de convergência é (-0.5, 0). O raio de convergência R é a distância do centro c = -14 até qualquer uma das extremidades do intervalo, que é 0.25.
Resposta
O raio de convergência é 0.25 e a série converge para todos os valores de x tais que -0.5 < x < 0.