Determine o raio de convergência e todos os valores de x para os quais as seguintes séries de potência convergem.
sumn=0^infty(-1)^n(4 x+1)^n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série de potência na forma sumn=0^infty(-1)^n(4 x+1)^n e precisamos determinar o raio de convergência dessa série, além de encontrar todos os valores de x para os quais essa série converge. Para isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries de potência e o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, identificamos a forma geral da série de potência: sumn=0^infty an (x - c)^n, onde c é o centro da série e an são os coeficientes. No nosso caso, podemos reescrever a série como sumn=0^infty [(-1)^n](4x +1)^n. Isso nos mostra que o centro da série é o valor de x que anula o termo (4x +1), ou seja, c = -14.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência R, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série sumn=0^infty an, o limite L = limn to infty | an+1an |. Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o teste da razão à nossa série:
an = (-1)^n (4x +1)^n
Então:
| an+1an | = | (-1)^n+1 (4x +1)^n+1 (-1)^n (4x +1)^n | = | -1 | cdot |4x +1| = |4x +1|
Então, o limite L = |4x +1|.

Passo 5

Para que a série converja, devemos ter L < 1, ou seja:
|4x +1| < 1

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
|4x +1| < 1 implies -1 < 4x +1 < 1
Subtraindo 1 de todos os lados:
-2 < 4x < 0
Dividindo por 4:
-0.5 < x < 0

Passo 7

O intervalo de convergência é (-0.5, 0). O raio de convergência R é a distância do centro c = -14 até qualquer uma das extremidades do intervalo, que é 0.25.

Resposta

O raio de convergência é 0.25 e a série converge para todos os valores de x tais que -0.5 < x < 0.

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