Determine o raio de convergência e todos os valores de para os quais as seguintes séries de potência convergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o raio de convergência e todos os valores de para os quais a série de potência converge. Vamos usar conhecimentos de séries de potência e testes de convergência para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da série de potência. Ela está na forma , onde . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência , que nos dirá para quais valores de a série converge.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos utilizar o Testes da Razão (ou Teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar calculando o limite . Se existir, então o raio de convergência é .
Passo 4
Vamos calcular an+1an = (-1)^n+14^n+1 ln(n+1) (-1)^n4^n ln(n) = (-1)^n+14^n+1 ln(n+1) times 4^n ln(n)(-1)^n = -14 times ln(n)ln(n+1) :
| an+1an | = 14 times ln(n)ln(n+1)
Ao tirar o valor absoluto, o sinal negativo desaparece:
Passo 5
Agora, calculamos o limite L = limn to infty 14 times ln(n)ln(n+1) :
limn to infty ln(n)ln(n+1) = 1
Sabemos que L = 14 times 1 = 14 é aproximadamente igual a para valores grandes de , então:
Portanto:
Passo 6
Com o valor de R = 1L = 114 = 4 , podemos encontrar o raio de convergência :
Isso significa que a série converge para .
Passo 7
Agora, precisamos verificar a convergência nos pontos finais sumn=1^infty (-1)^n 4^n4^n ln(n) = sumn=1^infty (-1)^nln(n) e sumn=1^infty (-1)^n (-4)^n4^n ln(n) = sumn=1^infty (-1)^n (-1)^n 4^n4^n ln(n) = sumn=1^infty 1ln(n) .
Para :
Essa é uma série alternada. Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se os termos decaem em módulo para zero e são decrescentes. Como e é decrescente, a série converge para .
Para :
Essa é a série , que diverge, pois não decresce suficientemente rápido para zero.
Resposta
O raio de convergência é . A série converge para todos os valores de tais que .