Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de Redução de Ordem para achar uma segunda solução da equação diferencial
, onde já sabemos que uma solução é
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem e técnicas para encontrar soluções adicionais quando já conhecemos uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Redução de Ordem. Quando já sabemos uma solução
de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos encontrar uma segunda solução
assumindo que ela tem a forma
, onde
é uma função que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos definir
. Agora, precisamos encontrar as derivadas de
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Isso parece complicado, mas simplificando e agrupando termos, percebemos que muitos termos se cancelam devido a
já ser solução da equação.
Passo 5
Após simplificar, ficamos com uma equação para
:
Para simplificar ainda mais, fazemos uma substituição
, resultando em:
Integrando essa equação, encontramos
, onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Integrando
para encontrar
:
Essa integral pode ser resolvida por frações parciais ou outras técnicas de integração, resultando em uma expressão para
.
Passo 7
Após realizar a integração, obtemos
, e então podemos escrever a segunda solução
como:
Resposta
A segunda solução da equação diferencial é
.