Use o método de Redução de Ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(g) (1 - x^2) y'' - 2 x y' + 6 y = 0, x > 0, y1(x) = 3 x^2 - 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o método de Redução de Ordem para achar uma segunda solução da equação diferencial , onde já sabemos que uma solução é . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de segunda ordem e técnicas para encontrar soluções adicionais quando já conhecemos uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Redução de Ordem. Quando já sabemos uma solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem, podemos encontrar uma segunda solução assumindo que ela tem a forma , onde é uma função que precisamos descobrir.

Passo 3

Vamos definir . Agora, precisamos encontrar as derivadas de :

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Isso parece complicado, mas simplificando e agrupando termos, percebemos que muitos termos se cancelam devido a já ser solução da equação.

Passo 5

Após simplificar, ficamos com uma equação para :
Para simplificar ainda mais, fazemos uma substituição , resultando em:
Integrando essa equação, encontramos , onde é uma constante de integração.

Passo 6

Integrando para encontrar :
Essa integral pode ser resolvida por frações parciais ou outras técnicas de integração, resultando em uma expressão para .

Passo 7

Após realizar a integração, obtemos , e então podemos escrever a segunda solução como:

Resposta

A segunda solução da equação diferencial é .

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