Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries. sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série .
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas com termos envolvendo potências de . Para descobrir onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se a gente calcular e esse limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge, e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos an = (-1)^n x^2n(2n+1)! :
an+1 = (-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1)+1)! = (-1)^n+1 x^2n+2(2n+3)!
Agora, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, calculamos a razão | an+1an | = | (-1)^n+1 x^2n+2(2n+3)! cdot (2n+1)!(-1)^n x^2n | = | -x^2 (2n+1)!(2n+3)! | :
Como estamos tomando o valor absoluto, o sinal negativo desaparece:
| an+1an | = x^2(2n+3)(2n+2)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) = limn to infty x^24n^2 + 10n + 6 = 0 tende ao infinito:
Porque, no denominador, o termo domina e é uma constante em relação a .

Passo 6

Como o limite é 0, que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é .

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