Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções. f(x) = { 0, se -5 <= x < 0; 3, se 0 <= x < 5 }, com f(x + 10) = f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função e encontrar a série de Fourier dela. Estamos trabalhando com séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier e montar a série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é periódica com período , já que . No intervalo de , e de , . Vamos esboçar esse gráfico.

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes de Fourier. A série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente constante.
  • e são os coeficientes dos cossenos e senos, respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular . A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Resolvendo a integral:
Já que para todo inteiro.

Passo 6

Vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Resolvendo a integral:

Passo 7

Agora, vamos montar a série de Fourier com os coeficientes que encontramos. Como , a série simplifica para:
Substituindo e :

Resposta

A série de Fourier da função é:

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