Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e encontrar a série de Fourier dela. Estamos trabalhando com séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas usando senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes de Fourier e montar a série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é periódica com período
, já que
. No intervalo de
,
e de
,
. Vamos esboçar esse gráfico.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes de Fourier. A série de Fourier para uma função periódica com período
é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente constante. -
e são os coeficientes dos cossenos e senos, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Resolvendo a integral:
Já que
para todo
inteiro.
Passo 6
Vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Resolvendo a integral:
Passo 7
Agora, vamos montar a série de Fourier com os coeficientes que encontramos. Como
, a série simplifica para:
Substituindo
e
:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Para cada função abaixo determine a função inversa (não esqueça indicar o domínio dela)
a)
a)
Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Seja
a região delimitada pelos gráficos das funções
e
.
Faça um esboço de .
Faça um esboço de
Verifique se a função é par ou ímpar.
b)
b)