Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de Fourier! A gente tem uma função
definida por partes e periódica com período 2. O que vamos fazer é primeiro entender como ela se parece no gráfico e depois encontrar a série de Fourier que representa essa função. Para isso, vamos precisar saber sobre funções periódicas, séries de Fourier e como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função
. A função é definida da seguinte forma:
E a função se repete a cada intervalo de 2 unidades, ou seja,
.
Então, para
, a função é uma reta que sobe de
para
. Para
, é uma reta que desce de
para
. Esse padrão se repete a cada 2 unidades no eixo x.
Passo 3
Agora que já entendemos o gráfico, vamos encontrar a série de Fourier dessa função. A série de Fourier de uma função periódica com período
pode ser escrita como:
Aqui,
. No nosso caso,
, então
.
Vamos calcular os coeficientes
,
e
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
, que é dado por:
Substituindo
:
Dividindo a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, vamos calcular
:
Com
:
Devido à simetria da função
, que é uma função ímpar (pois
), todos os coeficientes
serão zero.
Agora, vamos calcular
:
Com
:
Novamente, dividindo a integral conforme a definição da função:
Depois de resolver essas integrais (o que envolve integração por partes), obtemos:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
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d)
d)
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