Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções. f(x) = { x + 1, se -1 <= x < 0 ; 1 - x, se 0 <= x < 1 }, com f(x + 2) = f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries de Fourier! A gente tem uma função definida por partes e periódica com período 2. O que vamos fazer é primeiro entender como ela se parece no gráfico e depois encontrar a série de Fourier que representa essa função. Para isso, vamos precisar saber sobre funções periódicas, séries de Fourier e como calcular os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . A função é definida da seguinte forma:
E a função se repete a cada intervalo de 2 unidades, ou seja, .
Então, para , a função é uma reta que sobe de para . Para , é uma reta que desce de para . Esse padrão se repete a cada 2 unidades no eixo x.

Passo 3

Agora que já entendemos o gráfico, vamos encontrar a série de Fourier dessa função. A série de Fourier de uma função periódica com período pode ser escrita como:
Aqui, . No nosso caso, , então .
Vamos calcular os coeficientes , e .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular , que é dado por:
Substituindo :
Dividindo a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, vamos calcular :
Com :
Devido à simetria da função , que é uma função ímpar (pois ), todos os coeficientes serão zero.
Agora, vamos calcular :
Com :
Novamente, dividindo a integral conforme a definição da função:
Depois de resolver essas integrais (o que envolve integração por partes), obtemos:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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f(x) = 0, x <= 0; x, x > 0
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