Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
sumn=0^infty n^2(x-2)^n

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso envolve entender sobre séries de potências e como elas se comportam dependendo do valor de . Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a nossa série de uma forma mais amigável. A série é:
sumn=0^infty n^2(x-2)^n
Aqui, a gente pode ver que a série depende de , e queremos descobrir para quais valores de essa série soma a um número finito (ou seja, converge).

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série quando L = limn to infty | an+1an | tende ao infinito. A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não funciona.

Passo 4

Vamos identificar an = n^2(x-2)^n na nossa série:
an+1 = (n+1)^2(x-2)^n+1
Agora, vamos calcular an+1an = (n+1)^2(x-2)^n+1 times (x-2)^nn^2 = (n+1)^2n^2 times 1x-2 :
Então, a razão fica:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
| an+1an | = | (n+1)^2n^2 | times | 1x-2 | = (1 + 2n + 1n^2) times | 1x-2 |
Quando L = limn to infty (1 + 2n + 1n^2) times | 1x-2 | = 1 times | 1x-2 | = | 1x-2 | tende ao infinito, os termos e vão para zero, então temos:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que | 1x-2 | < 1 :
|x - 2| > 1
Isso significa que:

Passo 7

Vamos resolver a desigualdade . Isso nos dá dois casos:
Então, o intervalo de convergência é ou .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é ou .

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