Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso envolve entender sobre séries de potências e como elas se comportam dependendo do valor de . Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a nossa série de uma forma mais amigável. A série é:
Aqui, a gente pode ver que a série depende de , e queremos descobrir para quais valores de essa série soma a um número finito (ou seja, converge).
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não funciona.
Passo 4
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Então, a razão fica:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Quando tende ao infinito, os termos e vão para zero, então temos:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que:
Passo 7
Vamos resolver a desigualdade . Isso nos dá dois casos:
Então, o intervalo de convergência é ou .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é ou .