Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso envolve entender sobre séries de potências e como elas se comportam dependendo do valor de . Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a nossa série de uma forma mais amigável. A série é:
Aqui, a gente pode ver que a série depende de , e queremos descobrir para quais valores de essa série soma a um número finito (ou seja, converge).
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não funciona.
Passo 4
Vamos identificar an = n^2(x-2)^n na nossa série:
an+1 = (n+1)^2(x-2)^n+1
Agora, vamos calcular an+1an = (n+1)^2(x-2)^n+1 times (x-2)^nn^2 = (n+1)^2n^2 times 1x-2 :