Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Então, temos que analisar a série
. O objetivo é descobrir se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar técnicas de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries cujos termos são positivos e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Sabemos que
. Então, a série pode ser reescrita como:
Podemos fatorar o 2 fora da soma:
Passo 3
Agora, precisamos analisar a série
. Para aplicar o Teste da Integral, consideramos a função contínua, positiva e decrescente
para
. Observação: A série original começa em
, mas como
, o termo é indefinido. Portanto, ajustamos a série para começar em
.
Passo 4
Aplicamos o Teste da Integral, que diz que a série
e a integral
têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência. Vamos calcular a integral:
Passo 5
Fazendo uma substituição
, temos
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Essa integral é igual a
, que é conhecida como a função exponencial integral e diverge quando avaliada no infinito.
Passo 6
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge. Portanto, a série original
também é divergente.
Resposta
A série
é divergente.
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.
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