Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1(ln n^2)

Passo 1

Então, temos que analisar a série sumn=1^infty 1(ln n^2). O objetivo é descobrir se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar técnicas de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries cujos termos são positivos e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Sabemos que ln n^2 = 2 ln n. Então, a série pode ser reescrita como:
sumn=1^infty 12 ln n
Podemos fatorar o 2 fora da soma:
12 sumn=1^infty 1ln n

Passo 3

Agora, precisamos analisar a série sumn=1^infty 1ln n. Para aplicar o Teste da Integral, consideramos a função contínua, positiva e decrescente f(x) = 1ln x para x >= 2. Observação: A série original começa em n=1, mas como ln 1 = 0, o termo é indefinido. Portanto, ajustamos a série para começar em n=2.

Passo 4

Aplicamos o Teste da Integral, que diz que a série sumn=2^infty f(n) e a integral integral2^infty f(x) , dx têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência. Vamos calcular a integral:
integral2^infty 1ln x , dx

Passo 5

Fazendo uma substituição u = ln x, temos du = 1x dx, ou seja, dx = x , du = e^u , du. Substituindo na integral:
integralln 2^infty 1u e^u , du
Essa integral é igual a integral e^uu , du, que é conhecida como a função exponencial integral e diverge quando avaliada no infinito.

Passo 6

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1ln n também diverge. Portanto, a série original sumn=1^infty 1ln n^2 também é divergente.

Resposta

A série sumn=1^infty 1(ln n^2) é divergente.

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