Determine se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Então, temos que analisar a série . O objetivo é descobrir se essa série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar técnicas de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de séries cujos termos são positivos e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Sabemos que . Então, a série pode ser reescrita como:
Podemos fatorar o 2 fora da soma:

Passo 3

Agora, precisamos analisar a série . Para aplicar o Teste da Integral, consideramos a função contínua, positiva e decrescente para . Observação: A série original começa em , mas como , o termo é indefinido. Portanto, ajustamos a série para começar em .

Passo 4

Aplicamos o Teste da Integral, que diz que a série e a integral têm o mesmo comportamento de convergência ou divergência. Vamos calcular a integral:

Passo 5

Fazendo uma substituição , temos , ou seja, . Substituindo na integral:
Essa integral é igual a , que é conhecida como a função exponencial integral e diverge quando avaliada no infinito.

Passo 6

Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge. Portanto, a série original também é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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