Determine se a série é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente (CC) ou divergente (D).
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^2 2 nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que determinar se a série é absolutamente convergente (AC), condicionalmente convergente (CC) ou divergente (D). Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sem o termo alternante, ou seja, vamos considerar . Se essa série convergir, dizemos que a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Para verificar a convergência da série , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é especialmente útil para séries que envolvem fatorial.
O Teste da Razão funciona assim:
Calcule o limite .
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão na nossa série:
an+1an = 2(n+1)^3(n+1)! times n!2n^3 = (n+1)^3n^3(n+1) = (n+1)^2n^3 = n^2 + 2n + 1n^3 = 1n + 2n^2 + 1n^3
Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty ( 1n + 2n^2 + 1n^3 ) = 0
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Passo 5

Como a série sem o termo alternante converge absolutamente, isso significa que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente (AC).

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