Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
sumn=0^infty 3^n(x-3)^nn+1

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Estamos trabalhando com séries de potências aqui, e para descobrir onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é L = limn to infty | an+1an | .
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o limite:
an+1an = 3^n+1(x-3)^n+1(n+2) cdot n+13^n(x-3)^n = 3|x-3| cdot n+1n+2
Calculando:
L = 3|x-3| cdot limn to infty n+1n+2 = 3|x-3|
Tomando o limite quando 3|x-3| < 1 implies |x-3| < 13 :
Para a série convergir, precisamos que :
Aqui, vemos que o raio de convergência é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que 3 - 13 < x < 3 + 13 implies 83 < x < 103 , então:
sumn=0^infty 3^n(83-3)^nn+1 = sumn=0^infty (-1)^nn+1
Precisamos verificar se a série converge nos extremos sumn=0^infty 3^n(103-3)^nn+1 = sumn=0^infty 1n+1 e .
  • Para :
Essa é uma série alternada com termos que tendem a zero e são decrescentes, então converge.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que não converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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