Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Estamos trabalhando com séries de potências aqui, e para descobrir onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é .
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o limite:
Calculando:
Tomando o limite quando :
Para a série convergir, precisamos que :
Aqui, vemos que o raio de convergência é .

Passo 3

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que , então:
Precisamos verificar se a série converge nos extremos e .
  • Para :
Essa é uma série alternada com termos que tendem a zero e são decrescentes, então converge.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que não converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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para e