Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Estamos trabalhando com séries de potências aqui, e para descobrir onde essa série converge, vamos usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é .
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o limite:
Calculando:
L = 3|x-3| cdot limn to infty n+1n+2 = 3|x-3|
Tomando o limite quando 3|x-3| < 1 implies |x-3| < 13 :
Para a série convergir, precisamos que :
Aqui, vemos que o raio de convergência é .
Passo 3
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que 3 - 13 < x < 3 + 13 implies 83 < x < 103 , então: