Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para uma série , o raio de convergência pode ser encontrado usando:
No nosso caso, .
Passo 3
Vamos calcular :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Perceba que, conforme cresce, o termo também cresce sem limite. Isso significa que o limite tende ao infinito, a menos que , ou seja, .
Passo 5
Portanto, o raio de convergência é infinito, o que indica que a série converge para todo valor de . Ou seja, o intervalo de convergência é (todos os números reais).
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é (todos os números reais).