Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
sumn=0^infty (x-1)^n2^n n!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso faz parte do conteúdo de séries de potências na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para uma série R = limn to infty | anan+1 | , o raio de convergência pode ser encontrado usando:
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular anan+1 = (x-1)^n2^n n!(x-1)^n+12^n+1 (n+1)! = (x-1)^n cdot 2^n+1 (n+1)!2^n n! cdot (x-1)^n+1 :
Simplificando:
anan+1 = 2 cdot (n+1)x-1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando R = limn to infty | 2 cdot (n+1)x-1 | tende ao infinito:
Perceba que, conforme cresce, o termo também cresce sem limite. Isso significa que o limite tende ao infinito, a menos que , ou seja, .

Passo 5

Portanto, o raio de convergência é infinito, o que indica que a série converge para todo valor de . Ou seja, o intervalo de convergência é (todos os números reais).

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é (todos os números reais).

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