Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e a série de para isso.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de potências de é conhecida:
Como queremos , subtraímos 1 (que é o primeiro termo da série):

Passo 3

Agora, vamos dividir essa série por para obter :
Podemos reescrever a série começando do para facilitar:

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de converge para todo , ou seja, o raio de convergência é infinito. Como dividimos por e ajustamos a série, o intervalo de convergência permanece o mesmo:
ê

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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