Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e a série de
para isso.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de potências de
é conhecida:
Como queremos
, subtraímos 1 (que é o primeiro termo da série):
Passo 3
Agora, vamos dividir essa série por
para obter
:
Podemos reescrever a série começando do
para facilitar:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série de
converge para todo
, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como dividimos por
e ajustamos a série, o intervalo de convergência permanece o mesmo:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
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para
e
Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.