Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a série de Taylor para funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, lembramos da série de Taylor para
em torno de
:
Aqui, queremos que
, já que a função que estamos trabalhando é
.
Passo 3
Substituindo
por
na série, temos:
Essa é a representação em série de potências para a função
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original
converge quando
. Substituindo
, temos:
Então, a série converge para todos os valores de
tais que
.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência é
.
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, com
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