Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar a série de Taylor para funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, lembramos da série de Taylor para em torno de :
Aqui, queremos que , já que a função que estamos trabalhando é .

Passo 3

Substituindo por na série, temos:
Essa é a representação em série de potências para a função .

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Sabemos que a série original converge quando . Substituindo , temos:
Então, a série converge para todos os valores de tais que .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.
Determine o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries.
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com