Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir em que intervalo essa série converge. Isso envolve entender um pouco de séries de potências e como expandir funções usando elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica, que é uma série de potências bem conhecida:
Nosso objetivo é manipular essa fórmula para chegar na série da nossa função .

Passo 3

Observamos que nossa função é . A gente pode reescrever isso como:
Agora, vamos pensar em como elevar a série geométrica ao cubo.

Passo 4

Sabemos que a série binomial generalizada para exponentes negativos ou não inteiros é:
onde é o coeficiente binomial. No nosso caso, .

Passo 5

Calculando os coeficientes binomiais para :
Isso simplifica a expressão da série para nossa função.

Passo 6

Substituindo na série binomial:

Passo 7

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para séries de potências, usamos o teste da razão:
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é:

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(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
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