Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir em que intervalo essa série converge. Isso envolve entender um pouco de séries de potências e como expandir funções usando elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica, que é uma série de potências bem conhecida:
Nosso objetivo é manipular essa fórmula para chegar na série da nossa função .
Passo 3
Observamos que nossa função é . A gente pode reescrever isso como:
Agora, vamos pensar em como elevar a série geométrica ao cubo.
Passo 4
Sabemos que a série binomial generalizada para exponentes negativos ou não inteiros é:
onde é o coeficiente binomial. No nosso caso, .
Passo 5
Calculando os coeficientes binomiais para :
Isso simplifica a expressão da série para nossa função.
Passo 6
Substituindo na série binomial:
Passo 7
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para séries de potências, usamos o teste da razão:
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Resposta
A representação em série de potências para a função é: