Lembre que
.
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma série numérica que, ao somarmos seus termos, chegue cada vez mais próximo do número de Euler, que é representado por
. Para isso, vamos usar a série da função exponencial que funciona para qualquer número real
.
Passo 2
A função exponencial
pode ser escrita como uma série infinita:
Isso significa que para qualquer valor de
, podemos calcular
somando os termos dessa série.
Passo 3
Como queremos o número de Euler
, que é igual a
, substituímos
por 1 na série:
Simplificando, temos:
Resposta
A série
converge para o número de Euler
.
Exercícios relacionados
Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências
.
Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
(a) Determine os maiores intervalos abertos nos quais essas séries convergem.
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é .
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é
Lembre que
.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função , bem como o raio de convergência da série obtida.
(b) Obtenha a série de Maclaurin da função