Lembre que forall x in R, e^x=sumk=0^infty x^kk!.
(a) Obtenha uma série numérica que converge para o número de Euler.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma série numérica que, ao somarmos seus termos, chegue cada vez mais próximo do número de Euler, que é representado por . Para isso, vamos usar a série da função exponencial que funciona para qualquer número real .

Passo 2

A função exponencial e^x = sumk=0^infty x^kk! pode ser escrita como uma série infinita:
Isso significa que para qualquer valor de , podemos calcular somando os termos dessa série.

Passo 3

Como queremos o número de Euler e = sumk=0^infty 1^kk! , que é igual a e = sumk=0^infty 1k! , substituímos por 1 na série:
Simplificando, temos:

Resposta

A série converge para o número de Euler .

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