Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é
.
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a série de Maclaurin para a função seno:
Nosso objetivo é encontrar a expressão de uma função cuja série de Maclaurin é:
Para resolver isso, vamos comparar essa série com a série do seno e identificar como elas estão relacionadas.
Passo 2
Observamos que a série dada é semelhante à série de , mas há um fator extra de
no numerador. Vamos manipular essa série para relacioná-la com a série do seno.
Primeiro, notamos que
. Substituindo isso na série, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever
como
:
Passo 4
Perceba que a expressão dentro da soma é a série de Maclaurin para , que é:
Comparando com a nossa série, notamos que:
Resposta
A função cuja série de Maclaurin é
é: