Lembre que sen x=sumk=0^infty (-1)^k(2 k+1)! x^2 k+1, qualquer que seja x.
(d) Encontre a expressão da função cuja série de Maclaurin é sumk=0^infty (-1)^k 4^k(2 k+1)! x^2 k+1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a série de Maclaurin para a função seno:
Nosso objetivo é encontrar a expressão de uma função cuja série de Maclaurin é:
sen x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1
Para resolver isso, vamos comparar essa série com a série do seno e identificar como elas estão relacionadas.

Passo 2

Observamos que a série dada é semelhante à série de , mas há um fator extra de sen x no numerador. Vamos manipular essa série para relacioná-la com a série do seno.
Primeiro, notamos que 4^k. Substituindo isso na série, temos:
4^k = (2^2)^k = 2^2k

Passo 3

Agora, vamos reescrever 2^2k x^2k+1 como (2x)^2k cdot x:
sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! (2x)^2k cdot x = x sumk=0^infty (-1)^k (2x)^2k(2k+1)!

Passo 4

Perceba que a expressão dentro da soma é a série de Maclaurin para , que é:
Comparando com a nossa série, notamos que:

Resposta

A função cuja série de Maclaurin é sumk=0^infty (-1)^k 4^k(2k+1)! x^2k+1 é:

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