Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, e para descobrir até onde a série “funciona” (isso é, converge), vamos precisar usar testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da série. Ela está no formato geral:
onde e . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo onde a série converge.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A regra é calcular o limite:
e então se for finito.

Passo 4

Vamos calcular :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Pois tende a 1 quando cresce.

Passo 6

Com , o raio de convergência é:
Então, o raio de convergência é 2.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge quando:
Isso significa que:

Passo 8

Precisamos verificar os extremos e para ver se a série também converge nesses pontos.
Para :
Essa é uma série alternada que converge por causa do Teste da Série Alternada.
Para :
Essa é uma série p, e como , ela também converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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