Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, e para descobrir até onde a série “funciona” (isso é, converge), vamos precisar usar testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da série. Ela está no formato geral:
onde e . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo onde a série converge.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A regra é calcular o limite:
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty n^3(n+1)^3 cdot 12 = 12 cdot limn to infty ( nn+1 )^3 = 12 cdot 1 = 12 tende ao infinito:
Pois tende a 1 quando cresce.
Passo 6
Com R = 1L = 112 = 2 , o raio de convergência é:
Então, o raio de convergência é 2.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge quando:
|x - 3| < 2
Isso significa que:
-2 < x - 3 < 2 Rightarrow 1 < x < 5
Passo 8
Precisamos verificar os extremos sumn=1^infty 1n^3 2^n(1-3)^n = sumn=1^infty (-2)^nn^3 2^n = sumn=1^infty (-1)^nn^3 e sumn=1^infty 1n^3 2^n(5-3)^n = sumn=1^infty 2^nn^3 2^n = sumn=1^infty 1n^3 para ver se a série também converge nesses pontos.
Para :
Essa é uma série alternada que converge por causa do Teste da Série Alternada.
Para :
Essa é uma série p, e como , ela também converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .