Determine o raio e o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, e para descobrir até onde a série “funciona” (isso é, converge), vamos precisar usar testes de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da série. Ela está no formato geral:
onde e . Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo onde a série converge.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência , vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A regra é calcular o limite:
e então se for finito.
Passo 4
Vamos calcular :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Pois tende a 1 quando cresce.
Passo 6
Com , o raio de convergência é:
Então, o raio de convergência é 2.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge quando:
Isso significa que:
Passo 8
Precisamos verificar os extremos e para ver se a série também converge nesses pontos.
Para :
Essa é uma série alternada que converge por causa do Teste da Série Alternada.
Para :
Essa é uma série p, e como , ela também converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .