Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência.
Passo 2
Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que
, então podemos reescrever o termo como:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. Queremos encontrar números
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Escolhendo valores para
para resolver
e
, encontramos que
e
. Assim:
Passo 4
Substituindo de volta na série original, temos:
Essa é uma série telescópica, onde a maior parte dos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos.
Passo 5
Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que praticamente todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro e o último termo.
Passo 6
Tomando o limite quando o número de termos tende ao infinito, a soma parcial fica:
À medida que
cresce,
tende a zero, então a soma total da série é:
Resposta
A série
converge, e a soma total é igual a 1.