Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. sumn=2^infty 1n^2-n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série infinita sumn=2^infty 1n^2-n converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que n^2 - n = n(n - 1), então podemos reescrever o termo como:
1n^2-n = 1n(n-1)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. Queremos encontrar números A e B tais que:
1n(n-1) = An-1 + Bn
Multiplicando ambos os lados por n(n-1), temos:
1 = A cdot n + B cdot (n-1)
Escolhendo valores para n para resolver A e B, encontramos que A = 1 e B = -1. Assim:
1n(n-1) = 1n-1 - 1n

Passo 4

Substituindo de volta na série original, temos:
sumn=2^infty ( 1n-1 - 1n )
Essa é uma série telescópica, onde a maior parte dos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos.

Passo 5

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão:
( 11 - 12 ) + ( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + dots
Observamos que praticamente todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro e o último termo.

Passo 6

Tomando o limite quando o número de termos tende ao infinito, a soma parcial fica:
1 - 1n
À medida que n cresce, 1n tende a zero, então a soma total da série é:
1 - 0 = 1

Resposta

A série sumn=2^infty 1n^2-n converge, e a soma total é igual a 1.

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