Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar se a série infinita converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries e testes de convergência.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que , então podemos reescrever o termo como:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração usando frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Escolhendo valores para para resolver e , encontramos que e . Assim:

Passo 4

Substituindo de volta na série original, temos:
Essa é uma série telescópica, onde a maior parte dos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos.

Passo 5

Vamos somar os primeiros termos para ver o padrão:
Observamos que praticamente todos os termos se cancelam, restando apenas o primeiro e o último termo.

Passo 6

Tomando o limite quando o número de termos tende ao infinito, a soma parcial fica:
À medida que cresce, tende a zero, então a soma total da série é:

Resposta

A série converge, e a soma total é igual a 1.

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