Determine se a série abaixo é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.
Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Divergente: A série não converge nem absolutamente, nem condicionalmente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p com . Sabemos que séries p convergem se e divergem se . Como , essa série diverge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não pode ser absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.
Passo 5
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
é uma sequência decrescente.
.
No nosso caso, .
Passo 6
Vamos verificar as condições:
Decrescente: À medida que aumenta, diminui, então a sequência é decrescente.
Limite: .
Como as duas condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste da Série Alternada.