Determine se a série abaixo é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergente Absolutamente: Se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.
  • Convergente Condicionalmente: Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergente: A série não converge nem absolutamente, nem condicionalmente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa é uma série p com . Sabemos que séries p convergem se e divergem se . Como , essa série diverge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não pode ser absolutamente convergente. Agora, vamos verificar se ela é condicionalmente convergente usando o Teste da Série Alternada.

Passo 5

O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma converge se:
  1. é uma sequência decrescente.
  2. .
No nosso caso, .

Passo 6

Vamos verificar as condições:
  1. Decrescente: À medida que aumenta, diminui, então a sequência é decrescente.
  2. Limite: .
Como as duas condições são satisfeitas, a série converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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