A partir da soma da série geométrica
, para
, encontre as somas das séries abaixo.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a soma da série
, dado que já sabemos a soma da série geométrica
para
. Vamos usar conceitos de séries infinitas e derivadas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a soma da série geométrica básica:
Essa fórmula é válida quando o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a soma da série que envolve
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas. A ideia é derivar a soma da série geométrica em relação a
.
Passo 4
Vamos denotar a soma da série geométrica por
:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada do lado direito usando a regra do quociente:
Então:
Passo 6
Por outro lado, ao derivar a soma termo a termo:
Passo 7
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para ajustar a potência de
:
E do outro lado:
Passo 8
Portanto, juntando tudo:
Resposta
A soma da série
para
é:
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Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(q)
(q)
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(f)
(f)
A partir da soma da série geométrica
, para
, encontre as somas das séries abaixo.
©
©
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
(a)