A partir da soma da série geométrica sumn=1^infty x^n, para |x|<1, encontre as somas das séries abaixo.
(b) sumn=1^infty n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a soma da série sumn=1^infty n x^n, dado que já sabemos a soma da série geométrica sumn=1^infty x^n para |x| < 1. Vamos usar conceitos de séries infinitas e derivadas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a soma da série geométrica básica:
sumn=1^infty x^n = x1 - x
Essa fórmula é válida quando o valor absoluto de x é menor que 1, ou seja, |x| < 1.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a soma da série que envolve n, ou seja, sumn=1^infty n x^n. Para isso, vamos usar o cálculo, especificamente derivadas. A ideia é derivar a soma da série geométrica em relação a x.

Passo 4

Vamos denotar a soma da série geométrica por S(x):
S(x) = sumn=1^infty x^n = x1 - x
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a x:
dSdx = ddx ( x1 - x )

Passo 5

Calculando a derivada do lado direito usando a regra do quociente:
ddx ( x1 - x ) = (1)(1 - x) - x(-1)(1 - x)^2 = 1 - x + x(1 - x)^2 = 1(1 - x)^2
Então:
dSdx = 1(1 - x)^2

Passo 6

Por outro lado, ao derivar a soma termo a termo:
dSdx = ddx ( sumn=1^infty x^n ) = sumn=1^infty ddx (x^n) = sumn=1^infty n x^n-1

Passo 7

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por x para ajustar a potência de x:
x cdot dSdx = x cdot sumn=1^infty n x^n-1 = sumn=1^infty n x^n
E do outro lado:
x cdot 1(1 - x)^2 = x(1 - x)^2

Passo 8

Portanto, juntando tudo:
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2

Resposta

A soma da série sumn=1^infty n x^n para |x| < 1 é:
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2

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