Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que é assim:
O objetivo aqui é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo de convergência. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências na Matemática, e para resolver isso, vamos precisar usar o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou não olhando para o limite da razão dos termos consecutivos. A fórmula é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Aplicando o teste da razão na nossa série, vamos identificar an = n(x-5)^nn^2+1 e an+1 = (n+1)(x-5)^n+1(n+1)^2+1 :
Dividindo cada termo pelo maior poder de |x-5| < 1 :
Para a série convergir, precisamos que :
Passo 5
Isso significa que o raio de convergência -1 < x - 5 < 1 Rightarrow 4 < x < 6 é 1. Agora, vamos determinar o intervalo de convergência resolvendo a desigualdade:
sumn=0^infty n(-1)^nn^2+1
Por fim, precisamos verificar se a série converge nos pontos sumn=0^infty n(1)^nn^2+1 = sumn=0^infty nn^2+1 e .
Para :
Aqui, aplicando o teste da série alternada, que pede que os termos diminuam e tendem a zero, vemos que ambos são verdadeiros. Então, a série converge.
Para :
Aqui, compara-se com , que diverge. Então, a série também diverge nesse ponto.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .