Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(m) sumn=0^infty n(x-5)^nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série de potências que é assim:
sumn=0^infty n(x-5)^nn^2+1
O objetivo aqui é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e qual é o intervalo de convergência. Isso faz parte do conteúdo de séries de potências na Matemática, e para resolver isso, vamos precisar usar o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou não olhando para o limite da razão dos termos consecutivos. A fórmula é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Aplicando o teste da razão na nossa série, vamos identificar an = n(x-5)^nn^2+1 e an+1 = (n+1)(x-5)^n+1(n+1)^2+1 :
| an+1an | = | (n+1)(x-5)^n+1(n+1)^2+1 cdot n^2+1n(x-5)^n | = | (n+1)(x-5)n cdot n^2+1(n+1)^2+1 |
Agora, vamos montar a expressão da razão:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão e calcular o limite quando L = limn to infty | (n+1)(x-5)n cdot n^2+1(n+1)^2+1 | tende ao infinito:
L = limn to infty | (1 + 1n)(x-5)1 cdot 1 + 1n^21 + 2n + 1n^2 | = |(x-5)| cdot 1 = |x-5|
Dividindo cada termo pelo maior poder de |x-5| < 1 :
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 5

Isso significa que o raio de convergência -1 < x - 5 < 1 Rightarrow 4 < x < 6 é 1. Agora, vamos determinar o intervalo de convergência resolvendo a desigualdade:
sumn=0^infty n(-1)^nn^2+1
Por fim, precisamos verificar se a série converge nos pontos sumn=0^infty n(1)^nn^2+1 = sumn=0^infty nn^2+1 e .
  • Para :
Aqui, aplicando o teste da série alternada, que pede que os termos diminuam e tendem a zero, vemos que ambos são verdadeiros. Então, a série converge.
  • Para :
Aqui, compara-se com , que diverge. Então, a série também diverge nesse ponto.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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© un=(-1)^n raiznn+1