Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, trabalharemos com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de . Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, identificamos a forma geral da série de potências:
Onde . O centro da série é , já que temos .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência . Esse teste nos diz que:
Vamos calcular essa razão:
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando limn to infty 2 cdot n^2 + 1(n+1)^2 + 1 = 2 cdot limn to infty n^2 + 1n^2 + 2n + 2 tende ao infinito: