Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
§ sumn=0^infty 2^n(x+1)^nn^2+1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty 2^n(x+1)^nn^2+1
Aqui, trabalharemos com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de . Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, identificamos a forma geral da série de potências:
sumn=0^infty cn (x + 1)^n
Onde . O centro da série é , já que temos .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência 1R = limn to infty | cn+1cn | . Esse teste nos diz que:
cn+1cn = 2^n+1(n+1)^2 + 1 cdot n^2 + 12^n = 2 cdot n^2 + 1(n+1)^2 + 1
Vamos calcular essa razão:

Passo 4

Agora, calculamos o limite quando limn to infty 2 cdot n^2 + 1(n+1)^2 + 1 = 2 cdot limn to infty n^2 + 1n^2 + 2n + 2 tende ao infinito:
2 cdot limn to infty 1 + 1n^21 + 2n + 2n^2 = 2 cdot 1 + 01 + 0 + 0 = 2
Dividindo numerador e denominador por 1R = 2 implies R = 12 :
Então:

Passo 5

Com o raio de convergência |x + 1| < 12 , sabemos que a série converge para valores de -1 - 12 < x + 1 < -1 + 12 implies -32 < x < -12 que satisfazem:
Isso nos dá o intervalo:

Passo 6

Finalmente, precisamos verificar a convergência nos extremos do intervalo sumn=0^infty 2^n (-32 + 1)^nn^2 + 1 = sumn=0^infty 2^n (-12)^nn^2 + 1 = sumn=0^infty (-1)^nn^2 + 1 e sumn=0^infty 2^n (-12 + 1)^nn^2 + 1 = sumn=0^infty 2^n (12)^nn^2 + 1 = sumn=0^infty 1n^2 + 1 .
  • Para :
Essa série converge por ser alternada e o termo geral tende a zero.
  • Para :
Essa série também converge, pois a soma dos recíprocos dos quadrados converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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