Encontre uma função de duas ou três variáveis f, tal que F = nabla f : F(x, y, z) = 2y y i + (x^2 + 2yz) j + y^2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma função de duas ou três variáveis tal que o gradiente de seja igual ao vetor campo . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função , denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das suas variáveis. Então, se , temos:

Passo 3

Vamos começar encontrando integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e e aparece porque a derivada em relação a foi integrada.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar mais informações sobre :
Substituindo que encontramos:
Isolando :
No entanto, aqui encontramos um problema: deveria depender apenas de e , mas o lado direito da equação contém termos com , o que não faz sentido.

Passo 5

Esse conflito indica que não existe uma função cuja derivada em seja enquanto também atende a condição anterior. Além disso, para que uma função potencial exista, o campo vetorial deve ser conservativo, o que implica que o rotacional de deve ser zero.

Passo 6

Vamos verificar o rotacional de :
Calculando cada componente:
Para , precisamos que , ou seja, . Isso só acontece para , então não é um campo conservativo em geral.

Resposta

Não existe uma função tal que para o campo vetorial dado.

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