Encontre uma função de duas ou três variáveis
, tal que
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma função
de duas ou três variáveis tal que o gradiente de
seja igual ao vetor campo
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
, denotado por
, é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das suas variáveis. Então, se
, temos:
Passo 3
Vamos começar encontrando
integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
e aparece porque a derivada em relação a
foi integrada.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar mais informações sobre
:
Substituindo
que encontramos:
Isolando
:
No entanto, aqui encontramos um problema:
deveria depender apenas de
e
, mas o lado direito da equação contém termos com
, o que não faz sentido.
Passo 5
Esse conflito indica que não existe uma função
cuja derivada em
seja
enquanto também atende a condição anterior. Além disso, para que uma função potencial exista, o campo vetorial
deve ser conservativo, o que implica que o rotacional de
deve ser zero.
Passo 6
Vamos verificar o rotacional de
:
Calculando cada componente:
Para
, precisamos que
, ou seja,
. Isso só acontece para
, então
não é um campo conservativo em geral.
Resposta
Não existe uma função
tal que
para o campo vetorial dado.
Exercícios relacionados
Pode-se obter aproximações de
utilizando a sequência recursiva
, onde
.
(b) Mostre que, se , então
.
(b) Mostre que, se
Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo:
;
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
§
§
Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo:
;