A partir da soma da série geométrica
, para
, encontre as somas das séries abaixo.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a soma da série infinita
. Isso envolve conceitos de séries geométricas e técnicas para somar séries que têm um fator multiplicativo
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da soma de uma série geométrica e aplicar um pouco de cálculo.
Passo 2
Lembre-se que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
No nosso caso, temos
, que satisfaz a condição
.
Passo 3
Nosso objetivo é somar
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da fórmula da série geométrica em relação a
:
A derivada do lado esquerdo é:
E a derivada do lado direito é:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar os índices, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação obtida:
Como a série original começa em
, e o termo para
é zero, a soma permanece
.
Resposta
A soma da série
é igual a
.