A partir da soma da série geométrica sumn=1^infty x^n, para |x|<1, encontre as somas das séries abaixo.
© sumn=1^infty n2^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a soma da série infinita . Isso envolve conceitos de séries geométricas e técnicas para somar séries que têm um fator multiplicativo . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da soma de uma série geométrica e aplicar um pouco de cálculo.

Passo 2

Lembre-se que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, para |x| < 1
No nosso caso, temos , que satisfaz a condição .

Passo 3

Nosso objetivo é somar ddx ( sumn=0^infty x^n ) = ddx ( 11 - x ) . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da fórmula da série geométrica em relação a sumn=0^infty n x^n-1 :
1(1 - x)^2
A derivada do lado esquerdo é:
sumn=0^infty n x^n = x(1 - x)^2
E a derivada do lado direito é:
Multiplicando ambos os lados por para ajustar os índices, temos:

Passo 4

Agora, substituímos sumn=0^infty n ( 12 )^n = 12(1 - 12)^2 = 12(12)^2 = 1214 = 2 na equação obtida:
Como a série original começa em , e o termo para é zero, a soma permanece .

Resposta

A soma da série é igual a .

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Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
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Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty(-1)^n-1 2^nn!
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(e) sumn=1^infty(-1)^n-1 n!2^n+1