Use a simetria dos integrandos para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
usando a simetria dos integrandos. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, e vamos precisar entender se essas funções são pares ou ímpares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo
. Sabemos que
é uma função ímpar, e
é uma função par. Quando elevamos
ao cubo, ele continua sendo ímpar porque a potência é ímpar. Multiplicando uma função ímpar por uma par, o resultado é uma função ímpar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o segundo termo
. Assim como antes,
é ímpar e
é par. Portanto, o produto
também é uma função ímpar.
Passo 4
Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero. Nosso intervalo de integração é de
a
, que é simétrico em relação a zero.
Passo 5
Como tanto
quanto
são funções ímpares, a soma delas também será uma função ímpar. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre esse intervalo simétrico será zero.
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Use a simetria dos integrandos para calcular
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
Falso ou verdadeiro? Justifique.
(f) Toda função diferenciável possui derivadas parcias de ordem contínuas.
(f) Toda função diferenciável possui derivadas parcias de
Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(b)
(b)