Use a simetria dos integrandos para calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de
usando a simetria dos integrandos. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, e vamos precisar entender se essas funções são pares ou ímpares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo
. Sabemos que
é uma função ímpar, e
é uma função par. Quando elevamos
ao cubo, ele continua sendo ímpar porque a potência é ímpar. Multiplicando uma função ímpar por uma par, o resultado é uma função ímpar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o segundo termo
. Assim como antes,
é ímpar e
é par. Portanto, o produto
também é uma função ímpar.
Passo 4
Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero. Nosso intervalo de integração é de
a
, que é simétrico em relação a zero.
Passo 5
Como tanto
quanto
são funções ímpares, a soma delas também será uma função ímpar. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre esse intervalo simétrico será zero.
Resposta
A integral vale
.