Falso ou verdadeiro? Justifique.
(f) Toda função diferenciável possui derivadas parcias de ordem contínuas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se é verdadeiro ou falso que toda função diferenciável tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Estamos entrando no campo do Cálculo Diferencial, mais especificamente em funções de várias variáveis. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável e o que são derivadas parciais contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre funções diferenciáveis. Uma função de várias variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso basicamente significa que a função tem uma boa aproximação linear ali.

Passo 3

Agora, as derivadas parciais de primeira ordem são as taxas de variação da função em relação a cada uma de suas variáveis, mantendo as demais constantes. Por exemplo, se nossa função é , então as derivadas parciais são e .

Passo 4

A questão está falando sobre a continuidade dessas derivadas parciais. Ou seja, se as derivadas parciais não só existem, mas também são funções contínuas. É importante notar que a existência de derivadas parciais não garante que elas sejam contínuas.

Passo 5

Para justificar se a afirmação é verdadeira ou falsa, vamos considerar um exemplo. Imagine a função:
Essa função é diferenciável em , mas as derivadas parciais nesse ponto não são contínuas. Isso mostra que mesmo sendo diferenciável, as derivadas parciais de primeira ordem podem não ser contínuas.

Resposta

Falso. Nem toda função diferenciável possui derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Como demonstrado no exemplo, é possível ter uma função que é diferenciável em um ponto, mas cujas derivadas parciais não são contínuas nesse ponto.

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