Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
(1 ponto) sumn=0^infty (-1)^n+1(x-5)^nn 5^n (Questão da Lista IV).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio e a região de convergência da série de potências dada:
sumn=0^infty (-1)^n+1(x-5)^nn cdot 5^n
Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, onde queremos saber para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma L = limn to infty | an+1an | , o limite
an = (-1)^n+1n cdot 5^n
nos ajuda a encontrar o raio de convergência | an+1an | = | (-1)^(n+1)+1(n+1) cdot 5^n+1 cdot n cdot 5^n(-1)^n+1 | pela relação .
Aqui, nossa série é:

Vamos calcular :

Passo 3

Simplificando a expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando | an+1an | = | (-1)^n+2(n+1) cdot 5^n+1 cdot n cdot 5^n(-1)^n+1 | = | n(n+1) cdot 5 | tende ao infinito:
L = limn to infty | n(n+1) cdot 5 | = limn to infty n5(n+1) = 15

Passo 4

Com o limite R = 1L = 115 = 5 , podemos encontrar o raio de convergência :

Passo 5

Agora, sabemos que a série converge para valores de |x - 5| < 5 tais que:
-5 < x - 5 < 5
Isso significa que o intervalo de convergência está centrado em 5 e tem um raio de 5. Vamos determinar esse intervalo:
0 < x < 10

Passo 6

Por fim, precisamos verificar se a série converge nos pontos finais sumn=0^infty (-1)^n+1(0-5)^nn cdot 5^n = sumn=0^infty (-1)^n+1(-5)^nn cdot 5^n = sumn=0^infty (-1)^n+1 cdot (-1)^n cdot 5^nn cdot 5^n = sumn=0^infty (-1)^2n+1n = -sumn=0^infty 1n, e sumn=0^infty (-1)^n+1(10-5)^nn cdot 5^n = sumn=0^infty (-1)^n+15^nn cdot 5^n = sumn=0^infty (-1)^n+1n, .
  • Para :

    que é uma série harmônica divergente.
  • Para :

    que é uma série alternada convergente (série de Leibniz).

Resposta

O raio de convergência é e a região de convergência é o intervalo .

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Observação: Observe que vimos em sala de aula que trata-se da série de Maclaurin da função trigonometrica sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)! e a parte de determinar o raio e a região de convergência foi deixada como exercício.