Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$\left(0,75 ponto) 0,75 ponto (Questão da Lista IV).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma série de potências:
Queremos determinar o raio de convergência e a região de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências, especificamente o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em torno de um ponto central (neste caso, ), a série converge. A região de convergência é o intervalo de valores de para os quais a série realmente converge.

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil para determinar o limite onde a série converge. A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos aplicar o limite conforme o Teste da Razão:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que a distância entre e 3 deve ser menor que 1.

Passo 7

Vamos resolver a desigualdade :
Adicionando 3 a todos os lados:

Passo 8

Então, o raio de convergência é 1, e a região de convergência é o intervalo aberto .

Resposta

O raio de convergência é e a região de convergência é o intervalo .

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