Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$\left(0,75 ponto) (Questão da Lista IV).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma série de potências:
Queremos determinar o raio de convergência e a região de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries de potências, especificamente o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto, em torno de um ponto central (neste caso, ), a série converge. A região de convergência é o intervalo de valores de para os quais a série realmente converge.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste é útil para determinar o limite onde a série converge. A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Agora, vamos aplicar o limite conforme o Teste da Razão:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :
Isso significa que a distância entre e 3 deve ser menor que 1.
Passo 7
Vamos resolver a desigualdade :
Adicionando 3 a todos os lados:
Passo 8
Então, o raio de convergência é 1, e a região de convergência é o intervalo aberto .
Resposta
O raio de convergência é e a região de convergência é o intervalo .