Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$(0,5 ponto $) (0,5 ponto
Observação: Observe que vimos em sala de aula que trata-se da série de Maclaurin da função trigonometrica sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(2 n)! e a parte de determinar o raio e a região de convergência foi deixada como exercício.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o raio e a região de convergência da série de potências sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!. Isso envolve conceitos de séries de potências e como elas se comportam dependendo do valor de x. Vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Em séries de potências como essa, o raio de convergência ( R) indica para quais valores de x a série converge. Para encontrar R, usamos o Teste da Razão, que analisa o limite do termo geral quando n cresce sem limites.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. O Teste da Razão diz que:
R = limn to infty | anan+1 |
Onde an = (-1)^n x^2n(2n)!. Vamos calcular anan+1:
anan+1 = (-1)^n x^2n(2n)!(-1)^n+1 x^2(n+1)(2(n+1))! = (-1)^n x^2n (2(n+1))!(-1)^n+1 x^2n+2 (2n)!
Simplificando:
anan+1 = (2n+2)(2n+1)-x^2 = (2n+2)(2n+1)x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
R = limn to infty (2n+2)(2n+1)x^2 = limn to infty 4n^2 + 6n + 2x^2 = inftyx^2
Para que o limite seja finito, precisamos que x^2 também tenda para infinito, ou seja, x pode ser qualquer número real. Isso significa que o raio de convergência R é infinito.

Passo 5

Com o raio de convergência sendo infinito, a região de convergência abrange todo o conjunto dos números reais. Ou seja, a série converge para qualquer valor de x in R.

Resposta

O raio de convergência é infinito e a região de convergência é todo o conjunto dos números reais, ou seja, x in R.

Exercícios relacionados

Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$\left(0,75 ponto) 0,75 ponto (Questão da Lista IV).
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
(1 ponto) sumn=0^infty (-1)^n+1(x-5)^nn 5^n (Questão da Lista IV).
Encontre máximos e mínimos condicionados: encontre o ponto sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 mais distante do ponto (1, -1, 1);
Calcule:
(o) (2 - raiz(2)) / 2