Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$(0,5 ponto $)
Observação: Observe que vimos em sala de aula que trata-se da série de Maclaurin da função trigonometrica e a parte de determinar o raio e a região de convergência foi deixada como exercício.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o raio e a região de convergência da série de potências . Isso envolve conceitos de séries de potências e como elas se comportam dependendo do valor de . Vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o raio de convergência. Em séries de potências como essa, o raio de convergência () indica para quais valores de a série converge. Para encontrar , usamos o Teste da Razão, que analisa o limite do termo geral quando cresce sem limites.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. O Teste da Razão diz que:
Onde an = (-1)^n x^2n(2n)!. Vamos calcular anan+1:
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
R = limn to infty (2n+2)(2n+1)x^2 = limn to infty 4n^2 + 6n + 2x^2 = inftyx^2
Para que o limite seja finito, precisamos que x^2 também tenda para infinito, ou seja, x pode ser qualquer número real. Isso significa que o raio de convergência R é infinito.
Passo 5
Com o raio de convergência sendo infinito, a região de convergência abrange todo o conjunto dos números reais. Ou seja, a série converge para qualquer valor de x in R.
Resposta
O raio de convergência é infinito e a região de convergência é todo o conjunto dos números reais, ou seja, x in R.