Encontre máximos e mínimos condicionados: encontre o ponto sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 mais distante do ponto (1, -1, 1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto na esfera definida por que está mais distante do ponto .
Matéria envolvida: Maximização e minimização de funções sujeitas a restrições, usando conceitos de geometria espacial.
O que vamos precisar: Entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional e aplicar restrições de uma esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se tivermos dois pontos e , a distância entre eles é dada pela fórmula:
Mas pra facilitar nossos cálculos, podemos trabalhar com a distância ao quadrado, que é:
Isso porque a função atinge seu mínimo e máximo nos mesmos pontos que , e evita a raiz quadrada.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar o ponto na esfera que está mais distante de . Então, vamos expressar a função distância ao quadrado:
E a restrição é:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão de :
Mas como sabemos que , podemos substituir:
Então, nossa função para maximizar ou minimizar é com a restrição .

Passo 5

Para resolver esse tipo de problema com restrição, a gente pode usar uma abordagem geométrica. Vamos pensar na esfera e no ponto . O ponto na esfera mais distante de vai estar na direção oposta ao vetor que liga a origem até .
Basicamente, vamos encontrar a linha que passa pela origem e por , e então encontrar onde essa linha intercepta a esfera.

Passo 6

Vamos definir a linha que passa pela origem e por . As equações paramétricas dessa linha são:
Aqui, é um parâmetro que varía ao longo da linha.

Passo 7

Queremos encontrar os valores de que fazem com que o ponto esteja na esfera, ou seja, que satisfaça :

Passo 8

Então, temos dois valores de :
Vamos encontrar os pontos correspondentes na esfera:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, vamos interpretar esses dois pontos:
  • O primeiro ponto está na mesma direção de , ou seja, ele é o ponto mais próximo de na esfera.
  • O segundo ponto está na direção oposta de , sendo assim, é o ponto mais distante de na esfera.

Resposta

O ponto sobre a esfera mais distante de é:

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Observação: Observe que vimos em sala de aula que trata-se da série de Maclaurin da função trigonométrica e a parte de determinar o raio e a região de convergência foi deixada como exercício.