Encontre máximos e mínimos condicionados: encontre o ponto sobre a esfera
mais distante do ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto na esfera definida por
que está mais distante do ponto
.
Matéria envolvida: Maximização e minimização de funções sujeitas a restrições, usando conceitos de geometria espacial.
O que vamos precisar: Entender como calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional e aplicar restrições de uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como calcular a distância entre dois pontos no espaço. Se tivermos dois pontos
e
, a distância
entre eles é dada pela fórmula:
Mas pra facilitar nossos cálculos, podemos trabalhar com a distância ao quadrado, que é:
Isso porque a função
atinge seu mínimo e máximo nos mesmos pontos que
, e evita a raiz quadrada.
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar o ponto
na esfera
que está mais distante de
. Então, vamos expressar a função distância ao quadrado:
E a restrição é:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão de
:
Mas como sabemos que
, podemos substituir:
Então, nossa função para maximizar ou minimizar é
com a restrição
.
Passo 5
Para resolver esse tipo de problema com restrição, a gente pode usar uma abordagem geométrica. Vamos pensar na esfera e no ponto
. O ponto na esfera mais distante de
vai estar na direção oposta ao vetor que liga a origem até
.
Basicamente, vamos encontrar a linha que passa pela origem e por
, e então encontrar onde essa linha intercepta a esfera.
Passo 6
Vamos definir a linha que passa pela origem
e por
. As equações paramétricas dessa linha são:
Aqui,
é um parâmetro que varía ao longo da linha.
Passo 7
Queremos encontrar os valores de
que fazem com que o ponto
esteja na esfera, ou seja, que satisfaça
:
Passo 8
Então, temos dois valores de
:
Vamos encontrar os pontos correspondentes na esfera:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos interpretar esses dois pontos:
- O primeiro ponto está na mesma direção de
, ou seja, ele é o ponto mais próximo de na esfera. - O segundo ponto está na direção oposta de
, sendo assim, é o ponto mais distante de na esfera.
Resposta
O ponto sobre a esfera
mais distante de
é:
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$\left(0,75 ponto)
Calcule:
(o)
(o)
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$\left(0,5 ponto) .
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