Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$\left(0,5 ponto) 0,5 ponto.
Observação: Observe que vimos em sala de aula que trata-se da série de Maclaurin da função trigonométrica e a parte de determinar o raio e a região de convergência foi deixada como exercício.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio e a região de convergência da série de potências . O conteúdo que vamos usar aqui é o teste da razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos diz que, para a série , se o limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Identificamos . Agora, vamos calcular :

Passo 4

Simplificando a expressão:
Tomamos o valor absoluto:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o teste da razão, a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência é infinito e a região de convergência é , ou seja, para todo número real .

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Calcule:
(o) (2 - raiz(2)) / 2
Encontre máximos e mínimos condicionados: encontre o ponto sobre a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 mais distante do ponto (1, -1, 1);
Analise as séries numéricas a seguir quanto a convergência.
$\left(0,75 ponto) 0,75 ponto
Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
sumk=1^infty k!e^3 k.