Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
$\left(0,5 ponto) .
Observação: Observe que vimos em sala de aula que trata-se da série de Maclaurin da função trigonométrica e a parte de determinar o raio e a região de convergência foi deixada como exercício.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o raio e a região de convergência da série de potências . O conteúdo que vamos usar aqui é o teste da razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos diz que, para a série , se o limite for menor que 1, a série converge.
Passo 3
Identificamos . Agora, vamos calcular :
Passo 4
Simplificando a expressão:
Tomamos o valor absoluto:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o teste da razão, a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O raio de convergência é infinito e a região de convergência é , ou seja, para todo número real .