Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potência:
Isso envolve entender séries de potência e como determinar onde elas “funcionam”, ou seja, para quais valores de a série converge. Vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta muito útil para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a descobrir o raio de convergência das séries de potência. A ideia é calcular o limite:
Se an = (-1)^nn!(x-3)^n , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, os termos da série são:
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)!(x-3)^n+1 cdot n!(-1)^n(x-3)^n |
Simplificando os termos:
L = limn to infty | (-1)^n+1(n+1)! cdot n!(-1)^n cdot (x-3) | = limn to infty | -1n+1 cdot (x-3) | = limn to infty |x-3|n+1
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to infty |x-3|n+1 = 0
Como , isso significa que a série converge para qualquer valor de .
Resposta
O intervalo de convergência da série é . Ou seja, a série converge para todo número real .