Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
4.
.
4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e a região de convergência da série de potências dada:
Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Ele é dado por:
O objetivo agora é encontrar o limite da razão entre termos consecutivos
quando
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos calcular essa razão:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
limn to infty | (x-5)5 cdot nn+1 | = | (x-5)5 | cdot limn to infty nn+1 tende ao infinito:
O limite
, então:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
Vamos resolver essa desigualdade:
Passo 6
A desigualdade
-5 < x - 5 < 5 significa que
0 < x < 10 está a menos de 5 unidades de distância de 5. Então:
Adicionando 5 em todos os lados:
Passo 7
O raio de convergência
R = 5 é o valor que está multiplicando o
na desigualdade. Aqui, vimos que
, então:
A região de convergência é o intervalo onde a série converge, que é
.
Resposta
O raio de convergência é
e a região de convergência é o intervalo
.
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x para os quais a série converge.
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Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
2.sumn=0^infty n!(2 x-1)^n .
2.
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
5.sumn=1^infty n!x^n(2 n)! .
5.
Faça o que se pede.
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