Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
4. sumn=0^infty (-1)^n+1(x-5)^nn 5^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e a região de convergência da série de potências dada:
sumn=0^infty (-1)^n+1(x-5)^nn cdot 5^n
Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Ele é dado por:
an = (-1)^n+1(x-5)^nn cdot 5^n
O objetivo agora é encontrar o limite da razão entre termos consecutivos quando tende ao infinito.

Passo 3

Vamos calcular essa razão:
Simplificando os termos:
| an+1an | = | (-1)^(n+1)+1(x-5)^n+1(n+1) cdot 5^n+1 cdot n cdot 5^n(-1)^n+1(x-5)^n |

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | (x-5)5 cdot nn+1 | = | (x-5)5 | cdot limn to infty nn+1 tende ao infinito:
limn to infty | an+1an | = | (x-5)5 |
O limite , então:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
| (x-5)5 | < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
| x - 5 | < 5

Passo 6

A desigualdade -5 < x - 5 < 5 significa que 0 < x < 10 está a menos de 5 unidades de distância de 5. Então:
Adicionando 5 em todos os lados:

Passo 7

O raio de convergência R = 5 é o valor que está multiplicando o na desigualdade. Aqui, vimos que , então:
A região de convergência é o intervalo onde a série converge, que é .

Resposta

O raio de convergência é e a região de convergência é o intervalo .

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Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
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Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
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Faça o que se pede.
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