Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
5. sumn=1^infty n!x^n(2 n)!.

Passo 1

Então, temos o seguinte exercício:
Determinar o raio e a região de convergência da série de potências:
sumn=1^infty n! , x^n(2n)!
Vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência para resolver isso. Precisaremos entender como calcular o raio de convergência e, a partir dele, determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência ( 1R = limn to infty | an+1an | ) de uma série de potências da forma pode ser encontrado usando o Teste da Razão.
Esse teste nos diz que:
Se esse limite existir, podemos encontrar e, assim, determinar a região onde a série converge.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = n!(2n)! da nossa série:
limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)!(2(n+1))! cdot (2n)!n!
Agora, precisamos calcular o limite:

Passo 4

Simplificando os fatoriais:
(n+1)!n! = n + 1
(2n)!(2(n+1))! = 1(2n+1)(2n+2)
Então, temos:
limn to infty (n + 1) cdot 1(2n+1)(2n+2) = limn to infty n + 14n^2 + 6n + 2

Passo 5

Agora, vamos calcular esse limite dividindo numerador e denominador por limn to infty nn^2 + 1n^24 + 6n + 2n^2 = limn to infty 1n + 1n^24 + 0 + 0 = 0 + 04 = 0 :

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão:
1R = 0 implies R = infty
Isso significa que a série converge para todos os valores reais de .

Resposta

O raio de convergência é infinito ( ), e a região de convergência abrange todos os números reais .

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