Faça o que se pede.
5. Determine a série de potências de
indicando o raio e a região de convergência.
5. Determine a série de potências de
Passo 1
Beleza, temos que encontrar a série de potências da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries de potências e a fórmula da série geométrica. Além disso, precisamos determinar o raio e a região de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, lembrando da série geométrica básica, sabemos que:
Essa é a série de potências de
.
Passo 3
Agora, para encontrar a série de
, vamos derivar ambos os lados da equação da série geométrica em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 4
Para deixar a série mais elegante, vamos reindexar a soma. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Portanto, a série de potências de
é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que a série geométrica original converge para
. Como derivamos a série, o raio de convergência permanece o mesmo, ou seja,
.
Passo 6
Finalmente, a região de convergência é o intervalo onde a série converge. Assim, a série de potências de
converge para:
Resposta
A série de potências de
é:
Com raio de convergência
e região de convergência
.
Exercícios relacionados
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
5. .
5.
Determine o raio e a região de convergência das séries de potências dadas a seguir.
4. .
4.
Verificar se as sequências
abaixo convergem
a)
a)
Faça o que se pede.
- Escreva a série de potências da função
.