Determine a raiz real de
usando três iterações do método bissecção, com aproximações iniciais de
e
.
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício: precisamos encontrar a raiz real da equação
usando o método da bissecção. Para isso, vamos começar com duas aproximações iniciais,
e
. Vamos usar três iterações desse método para chegar mais perto da resposta. Vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos e como o método da bissecção funciona para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
. Sabemos que
, então podemos escrever
. Dividindo ambos os lados por 2, temos
. Agora, para encontrar
, vamos usar a propriedade do logaritmo: se
, então
. Mas, para este exercício, vamos usar o método da bissecção para aproximar esse valor.
Passo 3
O método da bissecção funciona assim: escolhemos dois pontos,
e
, onde a função muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Nesse caso, nossa função é
. Vamos verificar os valores de
e
para ter certeza de que existe uma raiz entre eles.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
- Para
: - Para
:
Como
e
, os sinais são opostos, o que significa que há pelo menos uma raiz entre
e
. Agora, vamos começar as iterações.
Passo 5
Iteração 1:
- Calculamos o ponto médio:
- Calculamos
- Como
é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Atualizamos
Iteração 2:
- Novo intervalo:
, - Calculamos o ponto médio:
- Calculamos
- Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre e . Atualizamos
Iteração 3:
- Novo intervalo:
, - Calculamos o ponto médio:
- Calculamos
- Como
é positivo e é negativo, a raiz está entre e . Atualizamos
Resposta
Após três iterações do método da bissecção, a aproximação da raiz real da equação
está entre
e
, mais precisamente aproximadamente
.