Determine a raiz real de usando três iterações do método bissecção, com aproximações iniciais de e .
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício: precisamos encontrar a raiz real da equação usando o método da bissecção. Para isso, vamos começar com duas aproximações iniciais, e . Vamos usar três iterações desse método para chegar mais perto da resposta. Vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos e como o método da bissecção funciona para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar: . Sabemos que , então podemos escrever . Dividindo ambos os lados por 2, temos . Agora, para encontrar , vamos usar a propriedade do logaritmo: se , então . Mas, para este exercício, vamos usar o método da bissecção para aproximar esse valor.
Passo 3
O método da bissecção funciona assim: escolhemos dois pontos, e , onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Nesse caso, nossa função é . Vamos verificar os valores de e para ter certeza de que existe uma raiz entre eles.
Passo 4
Vamos calcular e :
Para :
Para :
Como e , os sinais são opostos, o que significa que há pelo menos uma raiz entre e . Agora, vamos começar as iterações.
Passo 5
Iteração 1:
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Atualizamos
Iteração 2:
Novo intervalo: ,
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre e . Atualizamos
Iteração 3:
Novo intervalo: ,
Calculamos o ponto médio:
Calculamos
Como é positivo e é negativo, a raiz está entre e . Atualizamos
Resposta
Após três iterações do método da bissecção, a aproximação da raiz real da equação está entre e , mais precisamente aproximadamente .