Determine a raiz real de ln(x^2) = 0,7 usando três iterações do método bissecção, com aproximações iniciais de a = 0.5 e b = 2.

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: precisamos encontrar a raiz real da equação usando o método da bissecção. Para isso, vamos começar com duas aproximações iniciais, e . Vamos usar três iterações desse método para chegar mais perto da resposta. Vamos precisar entender um pouco sobre logaritmos e como o método da bissecção funciona para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar: . Sabemos que , então podemos escrever . Dividindo ambos os lados por 2, temos . Agora, para encontrar x, vamos usar a propriedade do logaritmo: se , então . Mas, para este exercício, vamos usar o método da bissecção para aproximar esse valor.

Passo 3

O método da bissecção funciona assim: escolhemos dois pontos, a e b, onde a função muda de sinal, ou seja, f(a) e f(b) têm sinais opostos. Nesse caso, nossa função é . Vamos verificar os valores de f(a) e f(b) para ter certeza de que existe uma raiz entre eles.

Passo 4

Vamos calcular f(a) e f(b):
  • Para :
  • Para :
Como e , os sinais são opostos, o que significa que há pelo menos uma raiz entre a e b. Agora, vamos começar as iterações.

Passo 5

Iteração 1:
  1. Calculamos o ponto médio:
  2. Calculamos
  3. Como é negativo e é positivo, a raiz está entre c e b. Atualizamos
Iteração 2:
  1. Novo intervalo: ,
  2. Calculamos o ponto médio:
  3. Calculamos
  4. Como é positivo e é negativo, a raiz está entre a e c. Atualizamos
Iteração 3:
  1. Novo intervalo: ,
  2. Calculamos o ponto médio:
  3. Calculamos
  4. Como é positivo e é negativo, a raiz está entre a e c. Atualizamos

Resposta

Após três iterações do método da bissecção, a aproximação da raiz real da equação está entre e , mais precisamente aproximadamente .

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