Justifique as propriedades algébricas das funções pares/ímpares.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente justifique as propriedades algébricas das funções pares e ímpares. Isso faz parte do conteúdo de funções na matemática, mais especificamente sobre funções pares e ímpares. Para resolver, vamos precisar das definições dessas funções e das propriedades que elas possuem quando realizadas operações algébricas, como soma, subtração, multiplicação e divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são funções pares e ímpares. Uma função é par se, para todo no domínio, . Já uma função é ímpar se, para todo no domínio, . Essas definições são a base para entender as propriedades algébricas.

Passo 3

Agora, vamos ver as propriedades de funções pares:
  1. Soma de duas funções pares é par: Se e são pares, então também é par.
    Justificativa:
    Isso mostra que satisfaz a condição de função par.
  2. Produto de duas funç��es pares é par: Se e são pares, então também é par.
    Justificativa:
    Logo, o produto também é par.

Passo 4

Agora, as propriedades de funções ímpares:
  1. Soma de duas funções ímpares é ímpar: Se e são ímpares, então também é ímpar.
    Justificativa:
    Isso confirma que a soma mantém a característica ímpar.
  2. Produto de duas funções ímpares é par: Se e são ímpares, então é par.
    Justificativa:
    Portanto, o produto resulta em uma função par.

Passo 5

Além disso, outras propriedades importantes são:
  • Multiplicação por uma constante:
    • Se é par, então é par.
    • Se é ímpar, então é ímpar, desde que seja um número real.
    Justificativa:
    Dependendo se ou , a propriedade é mantida.
  • Subtração e divisão seguem propriedades similares às da soma e multiplicação.

Resposta

As propriedades algébricas das funções pares e ímpares são justificadas pelas definições dessas funções e pelas operações realizadas. Funções pares preservam a paridade ao somar, subtrair ou multiplicar, enquanto funções ímpares mantêm a imparidade em somas e multiplicações específicas. Essas propriedades permitem manipular e combinar funções pares e ímpares de maneira previsível em operações algébricas.

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