Justifique as propriedades algébricas das funções pares/ímpares.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela quer que a gente justifique as propriedades algébricas das funções pares e ímpares. Isso faz parte do conteúdo de funções na matemática, mais especificamente sobre funções pares e ímpares. Para resolver, vamos precisar das definições dessas funções e das propriedades que elas possuem quando realizadas operações algébricas, como soma, subtração, multiplicação e divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são funções pares e ímpares. Uma função
é par se, para todo
no domínio,
. Já uma função
é ímpar se, para todo
no domínio,
. Essas definições são a base para entender as propriedades algébricas.
Passo 3
Agora, vamos ver as propriedades de funções pares:
-
Soma de duas funções pares é par: Se
e são pares, então também é par. Justificativa:Isso mostra quesatisfaz a condição de função par. -
Produto de duas funç��es pares é par: Se
e são pares, então também é par. Justificativa:Logo, o produto também é par.
Passo 4
Agora, as propriedades de funções ímpares:
-
Soma de duas funções ímpares é ímpar: Se
e são ímpares, então também é ímpar. Justificativa:Isso confirma que a soma mantém a característica ímpar. -
Produto de duas funções ímpares é par: Se
e são ímpares, então é par. Justificativa:Portanto, o produto resulta em uma função par.
Passo 5
Além disso, outras propriedades importantes são:
-
Multiplicação por uma constante:
- Se
é par, então é par. - Se
é ímpar, então é ímpar, desde que seja um número real.
Justificativa:Dependendo seou , a propriedade é mantida. - Se
-
Subtração e divisão seguem propriedades similares às da soma e multiplicação.
Resposta
As propriedades algébricas das funções pares e ímpares são justificadas pelas definições dessas funções e pelas operações realizadas. Funções pares preservam a paridade ao somar, subtrair ou multiplicar, enquanto funções ímpares mantêm a imparidade em somas e multiplicações específicas. Essas propriedades permitem manipular e combinar funções pares e ímpares de maneira previsível em operações algébricas.