Para a função f: [0, L] -> R, a sua
(i) Extensão par ao intervalo [-L, L] é f_par: [-L, L] -> R dada por
f_par(x) = { f(x), 0 <= x <= L; f(-x), -L <= x < 0 }
(ii) Extensão ímpar ao intervalo [-L, L] é fímpar : [-L, L] -> R dada por
f_impar(x) = { f(x), 0 < x <= L; 0, x = 0; -f(-x), -L <= x < 0 }
Mostre que f_par é par e que f ímparí é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo . O exercício quer que a gente mostre que uma extensão dessa função, chamada de , é uma função par, e outra extensão, í, é uma função ímpar. Vamos precisar saber o que são funções pares e ímpares e como provar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par. Uma função é par se, para todo no domínio de , . Isso basicamente significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a extensão par . Por definição:
Queremos mostrar que para todo .

Passo 4

Vamos considerar dois casos para :
  1. Caso 1:
    Mas, pela definição da extensão par, , pois substituímos por na definição.
  2. Caso 2:
    Novamente, substituindo por , obtemos .

Passo 5

Em ambos os casos, vimos que . Portanto, a função é realmente uma função par.

Passo 6

Agora, vamos verificar a função ímpar í. Por definição:
í
Queremos mostrar que íí para todo .

Passo 7

Vamos considerar três casos para :
  1. Caso 1:
    í
    í
    Assim, íí.
  2. Caso 2:
    í
    íí
    Aqui, , então a condição é satisfeita.
  3. Caso 3:
    í
    í
    Então, íí.

Resposta

Portanto, mostramos que é uma função par e í é uma função ímpar.

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