Para a função , a sua
(i) Extensão par ao intervalo é dada por
(ii) Extensão ímpar ao intervalo é fímpar : dada por
Mostre que é par e que í é ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo . O exercício quer que a gente mostre que uma extensão dessa função, chamada de , é uma função par, e outra extensão, í, é uma função ímpar. Vamos precisar saber o que são funções pares e ímpares e como provar essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par. Uma função é par se, para todo no domínio de , . Isso basicamente significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .
Passo 3
Agora, vamos analisar a extensão par . Por definição:
Queremos mostrar que para todo .
Passo 4
Vamos considerar dois casos para :
Caso 1:
Mas, pela definição da extensão par, , pois substituímos por na definição.
Caso 2:
Novamente, substituindo por , obtemos .
Passo 5
Em ambos os casos, vimos que . Portanto, a função é realmente uma função par.
Passo 6
Agora, vamos verificar a função ímpar í. Por definição:
í
Queremos mostrar que íí para todo .
Passo 7
Vamos considerar três casos para :
Caso 1:
í
í
Assim, íí.
Caso 2:
í
íí
Aqui, , então a condição é satisfeita.
Caso 3:
í
í
Então, íí.
Resposta
Portanto, mostramos que é uma função par e í é uma função ímpar.