Resolva as equações, com epsilon = 0.01 : x^2 + ln(x) = 0

Passo 1

Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver a equação usando uma precisão de . Aqui, estamos lidando com uma equação que combina uma função polinomial ( ) e uma função logarítmica ( ). Para resolver esse tipo de equação, que não pode ser resolvida de forma exata, utilizamos métodos numéricos. Neste caso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivamente melhores das raízes (soluções) de uma equação.

Passo 2

Escolhendo um Valor Inicial
O método de Newton-Raphson precisa de um valor inicial para começar as iterações. Observando a equação , sabemos que deve ser positivo porque o logaritmo natural ( ) só é definido para .
Vamos testar :
E para :
Como e , sabemos que existe uma solução entre 0,5 e 1. Vamos escolher como nosso valor inicial.

Passo 3

Aplicando o Método de Newton-Raphson
A fórmula do método de Newton-Raphson é:
Onde:
E a derivada é:
Vamos calcular :

Passo 4

Primeira Iteração
Agora, usamos para encontrar :

Passo 5

Verificando a Precisão
Agora, verificamos se a diferença entre e é menor que :
Como a diferença é menor que 0,01, podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada da equação com precisão de é:

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