Resolva as equações, com
:
Passo 1
Entendendo o Problema e o Conteúdo Envolvido
Vamos resolver a equação
usando uma precisão de
. Aqui, estamos lidando com uma equação que combina uma função polinomial (
) e uma função logarítmica (
). Para resolver esse tipo de equação, que não pode ser resolvida de forma exata, utilizamos métodos numéricos. Neste caso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma técnica para encontrar aproximações sucessivamente melhores das raízes (soluções) de uma equação.
Passo 2
Escolhendo um Valor Inicial
O método de Newton-Raphson precisa de um valor inicial para começar as iterações. Observando a equação
, sabemos que
deve ser positivo porque o logaritmo natural (
) só é definido para
.
Vamos testar
:
E para
:
Como
e
, sabemos que existe uma solução entre 0,5 e 1. Vamos escolher
como nosso valor inicial.
Passo 3
Aplicando o Método de Newton-Raphson
A fórmula do método de Newton-Raphson é:
Onde:
E a derivada
é:
Vamos calcular
:
Passo 4
Primeira Iteração
Agora, usamos
para encontrar
:
Passo 5
Verificando a Precisão
Agora, verificamos se a diferença entre
e
é menor que
:
Como a diferença é menor que 0,01, podemos parar as iterações.
Resposta
A solução aproximada da equação
com precisão de
é:
Exercícios relacionados
Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante
, é um quadrado.
Em relação ao Problema 23 , suponha agora que a produção seja fixada em
, onde
é uma constante. Quais valores de
e
minimizam a função custo
?
Resolva as equações, com
:
Determine a raiz real de
usando três iterações do método bissecção, com aproximações iniciais de
e
.